Do czego się przydają?
- Pozwalają nam na szybsze obliczenia.
- Podstawowe narzędzie do kombinowania.
Przydadzą się do rozwiązywania zadań z pozostałych działów. To właśnie dzięki nim wykażesz m.in. większość dowodów algebraicznych.
Wzory możemy rozwijać i zwijać. Zwijanie jest trochę trudniejsze, bo najpierw trzeba rozpoznać, z jakim wzorem mamy do czynienia. Ale spokojnie – wszystko dokładnie wyjaśnimy! 🙂
Wzory możemy rozwijać i zwijać. Zwijanie jest trochę trudniejsze, bo najpierw trzeba rozpoznać, z jakim wzorem mamy do czynienia. Ale spokojnie – wszystko dokładnie wyjaśnimy!
Przykład 1. Rozwijanie wzoru
Po co mnożyć przez siebie nawiasy „na piechotę”, skoro możemy wykorzystać do tego wzory skróconego mnożenia?
I sposób - mnożę nawiasy “na piechotę”, nie używam wzorów
$$ (2x + 3y)^2 = (2x + 3y) \cdot (2x + 3y) =$$ $$2x \cdot 2x + 2x \cdot 3y + 3y \cdot 2x + 3y \cdot 3y = $$ $$ 4x^2 + 6xy + 6xy + 9y^2 = $$ $$4x^2 + 12xy + 9y^2 $$
$$ (2x + 3y)^2 = (2x + 3y) \cdot (2x + 3y) = 2x \cdot 2x + 2x \cdot 3y + 3y \cdot 2x + 3y \cdot 3y = $$ $$ = 4x^2 + 6xy + 6xy + 9y^2= 4x^2 + 12xy + 9y^2 $$
Gdy liczymy „na piechotę”, łatwiej o błąd – a tego z pewnością chcemy uniknąć.
Skróćmy czas i umilmy matematykę, stosując nasze wzorki 🙂
II sposób - używam wzorów skróconego mnożenia
$$ (2x + 3y)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3y +$$ $$+ (3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2 $$
$$ (2x + 3y)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3y + (3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2 $$
Stosuję wzór, aby podnieść sumę do kwadratu:
$$ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$
Widzisz? Dzięki wzorom dochodzimy do tego samego, ale zdecydowanie szybciej!
Przykład 2. Zwijanie wzoru
Kolejnym zastosowaniem jest zwijanie wzorów. Co to oznacza? Będziemy używać ich w drugą stronę – jedziemy pod prąd! Już wszystko tłumaczymy.
Naszym zadaniem jest zwinąć to
wyrażenie we wzór skróconego mnożenia:
$$ 4x^2 + 12xy + 9y^2 $$
Widzę, że $x$ i $y$ są podniesione do
kwadratu oraz mam ich iloczyn $xy$.
Znaki “$+$” wskazują wzór na kwadrat
sumy. Muszę policzyć, co jest moim $\textbf{a}$ i $\textbf{b}$.
$$ 4x^2 + 12xy + 9y^2 $$
$$ (a+ b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$
Pierwiastkuję to, co stoi przy $x$ i $y$. Co
podniesione do kwadratu da mi 4, a co 9?
Pokażemy to krok po kroku, żebyś mógł to
też powtórzyć na trudniejszym przykładzie.
$ \sqrt{4} = \mathbf? $ oraz $ \sqrt{9} = \mathbf? $
$\mathbf?^2 = 4$ $\mathbf?^2 = 9$
$2^2 = 4$ $3^2 =9$
Warto sprawdzić, czy zgadza się iloczyn:
$$ 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12 $$
Gotowe! Wiemy już, że $a = 2x$ i $b = 3y$. Dobra robota!
$$ (2x + 3y)^2 $$
Studencki Tip od Oli
Przećwicz dobrze zwijanie i rozpoznawanie wzorów. Na maturze często właśnie o tę umiejętność chodzi w zadaniach otwartych o rozwiązywaniu równań wielomianowych, wymiernych, kwadratowych czy też w zadaniach na dowodzenie. Czy potrafisz też zwinąć kwadrat różnicy i różnicę kwadratów?
Czas poznać wzory!
wzory skróconego monożenia
Wzory i własności
nazwa
wzór
Przykład
kwadrat sumy
$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
$(2x + 3y)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3y + (3y)^2$ $=4x^2 + 12xy + 9y^2$
kwadrat różnicy
$$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$
$(2x - 3y)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3y + (3y)^2$ $=4x^2 - 12xy + 9y^2$
różnica kwadratów
$$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$$
$(2x)^2 - (3y)^2 = (2x -3y)(2x + 3y)$
sześcian sumy
$$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$ $$=(a+b)(a^2 + ab + b^2)$$
$(2x + 3y)^3 = (2x)^3 + 3 \cdot (2x)^2 \cdot 3y $ $+ 3 \cdot 2x \cdot (3y)^2 + (3y)^3 =$ $(2x + 3y)((2x)^2 + 2x \cdot 3y + (3y)^2)$
sześcian różnicy
$$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$ $$=(a-b)(a^2 + ab + b^2)$$
$(2x - 3y)^3 = (2x)^3 - 3 \cdot (2x)^2 \cdot 3y$ $+ 3 \cdot 2x \cdot (3y)^2 - (3y)^3 =$ $(2x - 3y)((2x)^2 + 2x \cdot 3y + (3y)^2)$
inne
$$a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$$
$$a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1)$$
$$a^3 + 1 = (a + 1)(a^2 + a + 1)$$
- Liczby niewymiernej (np. pierwiastka) nie można zapisać w postaci
ułamka zwykłego. - Natomiast liczbę wymierną już możemy – i bardzo to lubimy!
po co usuwamy niewymierności z mianownika?
- Gdy mamy ułamki, to bardzo nie chcemy pierwiastków w mianowniku (pod kreską ułamkową). Zwykła (wymierna) liczba ułatwia ręczne obliczenia i przybliżanie ułamków.
- Chcemy otrzymać w mianowniku liczbę wymierną.
JAK USUNĄĆ NIEWYMIERNOŚĆ Z MIANOWNIKA?
Mnożenie licznika i mianownika przez niewymierność (pierwiastek) znajdującą się w mianowniku nie zmienia wartości ułamka, a nam wiele ułatwia.
PRZYKŁAD 1.
W mianowniku znajduje się sam pierwiastek lub pierwiastek pomnożony przez jakąś liczbę wymierną (zwykłą, np. 4, 4 itd.)
$$\frac{2}{\sqrt{3}} =$$
Mamy pierwiastek w mianowniku. Pozbądźmy się go.
$$\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$
Mnożymy licznik i mianownik przez pierwiastek, którego chcemy się pozbyć
$$\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$
Ułamek $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ jest równy 1, więc nie zmienia nam wyniku. Upraszczamy i gotowe - nasz mianownik już jest wymierny
PRZYKŁAD 2.
W mianowniku pojawia się suma lub różnica liczb, gdzie przynajmniej jedna jest pierwiastkiem
$$\frac{2}{3 - \sqrt{5}} =$$
Widzimy w mianowniku różnicę
$$\frac{2}{3 - \sqrt{5}} \cdot \frac{3 + \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}$$
Mnożymy przez to samo wyrażenie, co w mianowniku, tylko że z PRZECIWNYM znakiem. Otrzymujemy wzorek skróconego mnożenia!
$$\frac{2(3 + \sqrt{5})}{(3 - \sqrt{5}) \cdot (3 + \sqrt{5})} =$$ $$\frac{6 + 2\sqrt{5}}{3^2 - \sqrt{5}^2} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{9 - 5} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} $$
Wzorek, o którym mowa
$(a – b)( a + b) = a^2 – b^2$
matura
Tipy i strategie maturalne
1
Różne przypadki usuwania niewymierności
- W mianowniku sam pierwiastek.
$\frac{3}{\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{3\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$
$\sqrt{5}\cdot
\sqrt{5}
=\sqrt{5\cdot5}
=\sqrt{25}=5$
$\sqrt{a}\cdot
\sqrt{a}=a$
2
W mianowniku pierwiastek przemnożony przez liczbę
- Wymnażamy licznik i mianownik przez SAM pierwiastek.
- Nie wymnażamy przez liczbę, która stoi obok pierwiastka!
$\frac{3}{4\cdot\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{3\cdot\sqrt{5}}{4\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{4\cdot5} = \frac{3\sqrt{5}}{20}$
3
W mianowniku mamy sumę/różnicę, gdzie przynajmniej jeden wyraz to pierwiastek
- Używamy wzoru skróconego mnożenia: $(a – b)(a + b) = a^2 – b^2$.
- Wymnażamy przez to samo wyrażenie, tylko ze zmienionym znakiem (zamiast różnicy – suma, zamiast sumy – różnica).
różnica
$\frac{2}{\sqrt{3}\color{red}{-}1} \cdot \frac{\sqrt{3} \color{red}{+}1}{\sqrt{3} \color{red}{+}1} = \frac{2\cdot(\sqrt{3} + 1)}{\color{#21409a}{\sqrt{3} - 1 \cdot \sqrt{3} + 1}} = \frac{2\sqrt{3} + 2}{\color{#21409a}{(\sqrt{3})^2 - 1^2}} = \frac{2\sqrt{3} + 2}{3 - 1} = $
$ = \frac{2\sqrt{3} +2}{2} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{2} = $ $ \sqrt{3} + 1$
suma
$\frac{2}{\sqrt{3} \color{red}{+}1} \cdot \frac{\sqrt{3}\color{red}{-}1}{\sqrt{3}\color{red}{-}1} = \frac{2\cdot(\sqrt{3} - 1)}{\color{#21409a}{\sqrt{3} + 1 \cdot \sqrt{3} - 1}} = \frac{2\sqrt{3} - 2}{\color{#21409a}{(\sqrt{3})^2 - 1^2}} = \frac{2\sqrt{3} - 2}{3 - 1} = $
$ = \frac{2\sqrt{3} - 2}{2} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{2} =$ $ \sqrt{3} - 1$
do czego się przydaje?
- Upraszcza wyrażenia i ułatwia obliczenia.
- Pomaga w dowodach algebraicznych.
- Pomaga rozwiązać równania wymierne i wielomianowe.
- Kolejne podstawowe narzędzie na maturę (oprócz wzorów skróconego
mnożenia).
wyciąganie wspólnego czynnika przed nawias
$ab + ac + ad$
$a$ jest wspólnym czynnikiem trzech składników (pojawia się w każdym z nich).
$\textcolor{pink}{\underline{a}}b + \textcolor{pink}{\underline{a}}c + \textcolor{pink}{\underline{a}}d = \textcolor{pink}{\underline{a}}(b + c + d)$
Wyciągamy $a$ przed nawias. W nawiasie zostaje nam wszystko oprócz zabranego $a$.
Warto sobie podkreślić kolorkiem wspólny czynnik.
$ab + ac + ad$
$\textcolor{pink}{\underline{a}}b + \textcolor{pink}{\underline{a}}c + \textcolor{pink}{\underline{a}}d = \textcolor{pink}{\underline{a}}(b + c + d)$
$a$ jest wspólnym czynnikiem trzech składników (pojawia się w każdym z nich).
Wyciągamy $a$ przed nawias. W nawiasie zostaje nam wszystko oprócz zabranego $a$. Warto sobie podkreślić kolorkiem wspólny czynnik.
Wyciąganie czynnika przed nawias to tak naprawdę dzielenie przez tę liczbę!
Dobra, zobaczmy przykład liczbowy!
PRZYKŁAD 1. Wyciągnijmy wspólny czynnik z poniższej sumy.
$2xy + 15x=$
$2\textcolor{pink}{\underline{x}}y + 15\textcolor{pink}{\underline{x}} = \textcolor{pink}{\underline{x}}(2y+15)$
Szukamy wspólnego czynnika – coś, co powtarza się w $2xy$ i $15x$.
Powtarza nam się $x$.
Studencki Tip od Oli
Możesz rozpisywać sobie każdy składnik działania na
boku jako mnożenie i szukać wspólnego czynnika.
Wszystko, co zostaje w mnożeniu, zapisujemy w nawiasie.
Kilka przykładów!
- $2xy = 2 \cdot x \cdot y$
- $15xy = 15 \cdot x \cdot y$
- $x^2 = x \cdot x$
zasady podzielności przez daną liczbę
Liczba jest podzielna przez:
- 2 – ostatnia cyfra to 0, 2, 4, 6, 8. Wszystkie liczby parzyste są podzielne przez 2.
- 3 – suma cyfr jest podzielna przez 3.
- 4 – dwie ostatnie cyfry są podzielne przez 4.
- 5 – ostatnia cyfra to 0 lub 5.
- 6 – jest podzielna przez 2 i 3.
- 8 – trzy ostatnie cyfry są podzielne przez 8.
- 9 – suma cyfr jest podzielna przez 9.
- 10 – ostatnia cyfra to 0.
parzystość
Każdą liczbę parzystą, gdzie k to liczba całkowita, możemy zapisać w postaci:
2k
nieparzystość
Każdą liczbę nieparzystą, gdzie k to liczba całkowita, możemy zapisać w postaci:
2k + 1
2k - 1
lub
Podstawy sobie przypomnieliśmy. Lecimy dalej!
PRZYKŁAD 1. Sprawdź, czy 1839 jest liczbą podzielną przez 3?
1839
Czy 1839 jest podzielne przez 3?
1 + 8 + 3 + 9 = 21
Sumujemy każdą z cyfr. Otrzymujemy 21.
21 : 3 = 7
Sprawdzamy, czy 21 jest podzielne przez 3. Nie ma reszty, w takim razie jest.
Studencki Tip od Nati
Warto nauczyć się zasad podzielności.
Zasada podzielności liczb 3 i 9 jest podobna,
tak samo z 4 i 8. Kojarz sobie je razem.
matura
Tipy i strategie maturalne
1
korzystaj z wzorow skroconego mnozenia
- Prawie w każdym dowodzie (zwłaszcza z podzielności) przydadzą Ci się
wzory skróconego mnożenia. Jeśli utkniesz lub nie będziesz wiedział,
co zrobić, spróbuj zwinąć lub rozwinąć wzór!
2
wyciągaj czynniki przed nawias
- Liczby w nawiasie muszą zostać całkowite!
- Jeżeli masz wykazać podzielność przez 4, wyciągnij 4 przed nawias.
- Jeśli wykazujesz podzielność przez 10, to wcyiągnij 10 przed nawias
- Jeżeli wykazujesz, że liczba jest parzysta – wyciągnij 2 przed nawias itd.
LICZBA, PRZEZ KTÓRĄ MA BYĆ PODZIELNE
$\cdot$ $($
X
coś całkowitego
$)$
DOJŚCIE DO TAKIEJ POSTACI NAJCZĘŚCIEJ KOŃCZY DOWÓD NA PODZIELNOŚĆ.
3
W DODAWANIU POTĘG WYCIĄGAJ NAJMNIEJSZĄ WSPÓLNĄ PRZED NAWIAS
Jeśli chcielibyśmy wykazać
podzielność przez 4 poniższej
sumy, to np:
$$2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 =$$
$$2^2 (1 + 2 + 2^2 + 2^3)$$
Otrzymujemy 4 $\cdot$ coś całkowitego!
Koniec dowodu.
- Nie ma wzorów na dodawanie potęg.
- Żeby dojść do postaci liczba $\cdot$ coś całkowitego, musimy poradzić sobie inaczej – wyciągając przed nawias najmniejszą wspólną potęgę.
- Korzystamy ze wzoru na mnożenie potęg o tych samych podstawach (patrz notatki z liczb rzeczywistych).
