Do czego się przydają?
- Pozwalają nam na szybsze obliczenia
- Podstawowe narzędzie do kombinowania
Przydadzą się do rozwiązywania zadań z pozostałych działów. To właśnie dzięki nim wykażesz m.in. większość dowodów algebraicznych.
Możemy wzory rozwijać i zwijać - zwijanie jest trochę trudniejsze, bo trzeba najpierw zauważyć, jaki to wzór. Ale spokojnie - wszystko wyjaśnimy:)
Możemy wzory rozwijać i zwijać – zwijanie jest trochę
trudniejsze, bo trzeba najpierw zauważyć, jaki to wzór.
Ale spokojnie – wszystko wyjaśnimy:)
Przykład 1. Rozwijanie wzoru
Po co mnożyć przez siebie nawiasy “na piechotę”, jeśli możemy wykorzystać
do tego wzory skróconego mnożenia!
I sposób - mnożę nawiasy “na piechotę”, nie używam wzorów
$$ (2x + 3y)^2 = (2x + 3y) \cdot (2x + 3y) =$$ $$2x \cdot 2x + 2x \cdot 3y + 3y \cdot 2x + 3y \cdot 3y = $$ $$ 4x^2 + 6xy + 6xy + 9y^2 = $$ $$4x^2 + 12xy + 9y^2 $$
$$ (2x + 3y)^2 = (2x + 3y) \cdot (2x + 3y) = 2x \cdot 2x + 2x \cdot 3y + 3y \cdot 2x + 3y \cdot 3y = $$ $$ = 4x^2 + 6xy + 6xy + 9y^2= 4x^2 + 12xy + 9y^2 $$
Licząc na piechotę jest więcej miejsca do popełnienia błędów –
czego z pewnością nie chcemy
Skróćmy czas i umilmy matematykę, stosując nasze wzorki 🙂
II sposób - używam wzorów skróconego mnożenia
$$ (2x + 3y)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3y +$$ $$+ (3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2 $$
$$ (2x + 3y)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3y + (3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2 $$
Stosuję wzór, aby podnieść sumę
do kwadratu
$$ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$
Widzisz? Dzięki wzorom
dochodzimy do tego samego,
ale zdecydowanie szybciej!
Przykład 2. Zwijanie wzoru
Kolejnym zastosowaniem jest zwijanie we wzoru. Co to oznacza? Będziemy
używać wzorów w drugą stronę - jedziemy pod prąd. Już tłumaczymy!
Naszym zadaniem jest zwinąć to
wyrażenie we wzór skróconego mnożenia:
$$ 4x^2 + 12xy + 9y^2 $$
Widzę, że x i y są podniesione do
kwadratu oraz mam ich iloczyn xy.
Znaki “+” wskazują wzór na kwadrat
sumy. Muszę policzyć, co jest moim a i b.
$$ 4x^2 + 12xy + 9y^2 $$
$$ (a+ b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$Pierwiastkuję to, co stoi przy x i y. Co
podniesione do kwadratu da mi 4 a co 9?
Pokażemy to krok po kroku, żebyś mógł to
też powtórzyć na trudniejszym przykładzie.
$ \sqrt{4} = \mathbf? $ oraz $ \sqrt{9} = \mathbf? $
$\mathbf?^2 = 4$ $\mathbf?^2 = 9$
$2^2 = 4$ $3^2 =9$
Warto sprawdzić czy zgadza się iloczyn:
$$ 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12 $$
Gotowe! Wiemy już, że a = 2x i b = 3y. Dobra robota!
$$ (2x + 3y)^2 $$
Studencki Tip od Oli
Przećwicz dobrze zwijanie i zauważanie wzorów. Na maturze często właśnie o tę umiejętność chodzi w zadaniach otwartych o rozwiązywaniu równań wielomianowych, wymiernych, kwadratowych czy też w zadaniach na dowodzenie. Czy potrafisz też zwinąć kwadrat różnicy i różnicę kwadratów?
Czas poznać wzory!
wzory skróconego monożenia
Wzory i własności
nazwa
wzór
Przykład
kwadrat sumy
$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
$(2x + 3y)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3y + (3y)^2$ $=4x^2 + 12xy + 9y^2$
kwadrat różnicy
$$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$
$(2x - 3y)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3y + (3y)^2$ $=4x^2 - 12xy + 9y^2$
różnica kwadratów
$$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$$
$(2x)^2 - (3y)^2 = (2x -3y)(2x + 3y)$
sześcian sumy
$$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$ $$=(a+b)(a^2 + ab + b^2)$$
$(2x + 3y)^3 = (2x)^3 + 3 \cdot (2x)^2 \cdot 3y $ $+ 3 \cdot 2x \cdot (3y)^2 + (3y)^3 =$ $(2x + 3y)((2x)^2 + 2x \cdot 3y + (3y)^2)$
sześcian różnicy
$$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$ $$=(a-b)(a^2 + ab + b^2)$$
$(2x - 3y)^3 = (2x)^3 - 3 \cdot (2x)^2 \cdot 3y$ $+ 3 \cdot 2x \cdot (3y)^2 - (3y)^3 =$ $(2x - 3y)((2x)^2 + 2x \cdot 3y + (3y)^2)$
inne
$$a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$$
$$a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1)$$
$$a^3 + 1 = (a + 1)(a^2 + a + 1)$$
- Liczby niewymiernej (np. pierwiastka) nie można zapisać w postaci
ułamka zwykłego. - Natomiast liczbę wymierną już możemy – i bardzo to lubimy!
po co usuwamy niewymierności z mianownika?
- Gdy mamy ułamki, to bardzo nie chcemy pierwiastków w mianowniku
(pod kreską ułamkową), zwykła (wymierna) liczba ułatwia ręczne
obliczenia i przybliżanie ułamków - Chcemy otrzymać w mianowniku liczbę wymierną
JAK USUNĄĆ NIEWYMIERNOŚĆ Z MIANOWNIKA?
Mnożąc licznik i mianownik przez niewymierność (pierwiastek) znajdującą sie w mianowniku – nie zmienia to wartości ułamka, a nam wiele ułatwia.
PRZYKŁAD 1.
W mianowniku znajduję się sam pierwiastek lub pierwiastek pomnożony przez jakąś liczbę wymierną (zwykłą, np. 4, 4 itd.)
$$\frac{2}{\sqrt{3}} =$$
Mamy pierwiastek w mianowniku, pozbądźmy się go
$$\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$
Mnożymy licznik i mianownik przez pierwiastek, którego chcemy się pozbyć
$$\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$
Ułamek $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ jest równy 1, nie zmienia
nam wyniku. Upraszczamy i gotowe,
nasz mianownik już jest wymierny
PRZYKŁAD 1.
W mianowniku pojawia się suma lub różnica liczb, gdzie
przynajmniej jedna jest pierwiastkiem
$$\frac{2}{3 - \sqrt{5}} =$$
Widzimy w mianowniku różnicę
$$\frac{2}{3 - \sqrt{5}} \cdot \frac{3 + \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}$$
Mnożymy przez wyrażenie co w mianowniku, tylko że z PRZECIWNYM znakiem. Otrzymujemy wzorek skróconego mnożenia!
$$\frac{2(3 + \sqrt{5})}{(3 - \sqrt{5}) \cdot (3 + \sqrt{5})} =$$ $$\frac{6 + 2\sqrt{5}}{3^2 - \sqrt{5}^2} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{9 - 5} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} $$
Wzorek, o którym mowa
$(a – b)( a + b) = a^2 – b^2$
matura
Tipy i strategie maturalne
1
Różne przypadki usuwania niewymierności
- W mianowniku sam pierwiastek
$\frac{3}{\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{3\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$
$\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=\sqrt{5\cdot5}=\sqrt{25}=5$
$\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a$
2
W mianowniku pierwiastek przemnożony przez liczbę
- wymnażamy licznik i mianownik przez SAM pierwiastek
- nie wymnażamy przez liczbę, która stoi obok pierwiastka!
$\frac{3}{4\cdot\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{3\cdot\sqrt{5}}{4\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{4\cdot5} = \frac{3\sqrt{5}}{20}$
3
W mianowniku mamy sumę/różnicę, gdzie przynajmniej jeden wyraz to pierwiastek
- używamy wzoru skróconego mnożenia $(a – b)(a + b) = a^2 – b^2$
- Wymnażamy przez to samo wyrażenie tylko ze zmienionym znakiem (zamiast różnicy – suma, zamiast sumy – różnica)
różnica
$\frac{2}{\sqrt{3}\color{red}{-}1} \cdot \frac{\sqrt{3} \color{red}{+}1}{\sqrt{3} \color{red}{+}1} = \frac{2\cdot(\sqrt{3} + 1)}{\color{#21409a}{\sqrt{3} - 1 \cdot \sqrt{3} + 1}} = \frac{2\sqrt{3} + 2}{\color{#21409a}{(\sqrt{3})^2 - 1^2}} = \frac{2\sqrt{3} + 2}{3 - 1} = $
$ = \frac{2\sqrt{3} +2}{2} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{2} = $ $ \sqrt{3} + 1$
suma
$\frac{2}{\sqrt{3} \color{red}{+}1} \cdot \frac{\sqrt{3}\color{red}{-}1}{\sqrt{3}\color{red}{-}1} = \frac{2\cdot(\sqrt{3} - 1)}{\color{#21409a}{\sqrt{3} + 1 \cdot \sqrt{3} - 1}} = \frac{2\sqrt{3} - 2}{\color{#21409a}{(\sqrt{3})^2 - 1^2}} = \frac{2\sqrt{3} - 2}{3 - 1} = $
$ = \frac{2\sqrt{3} - 2}{2} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{2} =$ $ \sqrt{3} - 1$
do czego się przydaje?
- Upraszcza wyrażenia i ułatwia obliczenia
- Pomaga w dowodach algebraicznych
- Pomaga rozwiązać równania wymierne i wielomianowe
- Kolejne podstawowe narzędzie na maturę (oprócz wzorów skróconego
mnożenia)
wyciąganie wspólnego czynnika przed nawias
ab + ac + ad
a jest wspólnym czynnikiem trzech składników (pojawia się w każdym z nich)
ab + ac + ad = a(b + c + d)
Wyciągamy a przed nawias, w nawiasie zostaje nam wszystko oprócz zabranego a.
warto sobie podkreślić kolorkiem wspólny czynnik
Wyciąganie czynnika przed nawias to tak naprawdę dzielenie przez tę liczbę!
Dobra, zobaczmy przykład liczbowy
PRZYKŁAD 1. Wyciągnijmy wspólny czynnik z poniższej sumy.
2xy + 15x=
2xy + 15x = x(2y + 15)
Szukamy wspólnego czynnika – coś co powtarza się w 2xy i 15x.
Powtarza nam się x
Studencki Tip od Oli
Możesz rozpisywać sobie każdy składnik działania na
boku na mnożenie i szukać wspólnego czynnika.
Wszystko, co zostaje w mnożeniu, zapisujemy w nawiasie.
Kilka przykładów!
- $2xy = 2 \cdot x \cdot y$
- $15xy = 15 \cdot x \cdot y$
- $x^2 = x \cdot x$
zasady podzielności przez daną liczbę
Liczba jest podzielna przez:
- 2 – ostatnia cyfra to 0, 2, 4, 6, 8. Wszystkie liczby parzyste są podzielne przez 2.
- 3 – suma cyfr jest podzielna przez 3
- 4 – dwie ostatnie cyfry są podzielne przez 4
- 5 – ostatnia cyfra to 0 lub 5
- 6 – jest podzielna przez 2 i 3
- 8 – trzy ostatnie cyfry są podzielne przez 8
- 9 – suma cyfr jest podzielna przez 9
- 10 – ostatnia cyfra to 0
parzystość
Każdą liczbę parzystą, gdzie k to liczba całkowita, możemy zapisać w postaci :
2k
nieparzystość
Każdą liczbę nieparzystą, gdzie k to liczba całkowita, możemy zapisać w postaci :
2k + 1
2k - 1
lub
Podstawy sobie przypomnieliśmy. Lecimy dalej!
PRZYKŁAD 1. Sprawdź, czy 1839 jest liczbą podzielną przed 3
1839
Czy 1839 jest podzielne przez 3?
1 + 8 + 3 + 9 = 21
Sumujemy każdą z cyfr. Otrzymujemy 21
21 : 3 = 7
Sprawdzamy czy 21 jest podzielne przez 3. Nie ma reszty, w takim razie jest.
Studencki Tip od Nati
Warto nauczyć się zasad podzielności.
Zasada podzielności 3 i 9 jest podobna,
tak samo z 4 i 8. Kojarz sobie je razem.
matura
Tipy i strategie maturalne
1
korzystaj z wzorow skroconego mnozenia
- Prawie w każdym dowodzie (zwłaszcza z podzielności) przydadzą Ci się
wzory skróconego mnożenia. Jeśli utkniesz lub nie będziesz wiedział,
co zrobić, spróbuj zwinąć lub rozwinąć wzór!
2
wyciągaj współczynniki przed nawias
- Liczby w nawiasie muszą zostać całkowite!
- Jeżeli masz wykazać podzielność przez 4, to będzie trzeba 4 wyciągnąć przed nawias
- Jeśli podzielność przez 10, to 10 wyciągnąć przed nawias
- Jeżeli parzyste – to 2 wyciągnąć przed nawias itd.
LICZBA, PRZEZ KTÓRĄ MA BYĆ PODZIELNE
$\cdot$ $($
X
coś całkowitego
$)$
DOJŚCIE DO TAKIEJ POSTACI NAJCZĘŚCIEJ KOŃCZY DOWÓD NA PODZIELNOŚĆ
3
W DODAWANIU POTĘG WYCIĄGAJ NAJMNIEJSZĄ WSPÓLNĄ PRZED NAWIAS
Jeśli chcielibyśmy wykazać
podzielność przez 4 z poniższej
sumy, to np:
$$2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 =$$
$$2^2 (1 + 2 + 2^2 + 2^3)$$
Otrzymujemy 4 $\cdot$ coś całkowitego!
Koniec dowodu
- Nie ma wzorów na dodawanie potęg,
- Żeby dojść do postaci liczba $\cdot$ coś całkowitego, musimy poradzić sobie inaczej – wyciągając przed nawias najmniejszą wspólną potęgę
- Korzystamy z wzoru na mnożenie potęg o tych samych podstawach (patrz notatki z liczb rzeczywistych)
