Prosta, półprosta, odcinek
Prosta
linia bez początku i końca
Półprosta
linia, która ma początek, ale nie ma końca
Odcinek
ma początek i koniec
Proste równoległe
dwie proste, które nigdy się nie przecinają
Proste prostopadłe
dwie proste, które przecinają się pod kątem prostym ($90^{\circ}$)
kąty
Kąt ostry
$<90^{\circ}$
Kąt prosty
$=90^{\circ}$
Kąt rozwarty
$>90^{\circ}$ i $<180^{\circ}$
Kąt wklęsły
$>180^{\circ}$ i $<360^{\circ}$
Kąt wypukły
$\leq 180^{\circ}$
Kąt wierzchołkowy
- dwa kąty ze wspólnym wierzchołkiem
- kąty naprzeciw siebie są równe
Kąty przyległe
- ich suma to $180^{\circ}$
-
dwa kąty mające wspólne ramię
Kąty odpowiadające
- proste są równoległe i kolejna prosta je przecina
-
leżą po tej samej stronie przecinającej prostej
Dwusieczna
- linia dzieląca dowolny kąt w połowie (na dwie równe części)
Symetralna
- prosta dzieli odcinek na pół (na dwie równe części)
-
ta prosta jest prostopadła do odcinka
Środkowa
- odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku.
-
ta prosta jest prostopadła do tego przeciwległego boku
kąty w trójkącie
Suma kątów wewnętrznych w trójkącie zawsze jest równa $180^{\circ}$. Trójkąt może mieć tylko jeden kąt rozwarty i tylko jeden kąt prosty.
trójkąty i ich rodzaje
Trójkąty możemy podzielić, na przykład, ze względu na miary kątów:
Trójkąt ostrokątny
Trójkąt rozwartokątny
Trójkąt prostokątny
Oprócz tego możemy wyróżnić dwa szczególne rodzaje trójkątów:
Trójkąt równoboczny:
- Wszystkie boki tego trójkąta są równej długości.
- Wszystkie jego kąty mają po $60^{\circ}$.
Trójkąt równoramienny:
- Dwa boki trójkąta są tej samej długości.
- Dwa kąty tego trójkąta mają taką samą wartość.
własności trójkąta równobocznego
Jako że trójkąt równoboczny ma wszystkie boki tej samej długości (a każdy jego kąt ma miarę $60^{\circ}$), posiada on charakterystyczne wzory na wysokość i pole.
- Wysokość trójkąta ($h$):
$ h = \frac{a \sqrt{3}}{2} $
- Pole trójkąta ($P$):
$ P = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} $
Przykład 1.
Dany jest trójkąt, którego wszystkie boki mają po 4 cm. Oblicz jego pole
Sposób 1
1. Obliczamy wysokość trójkąta
$$a=4$$ $$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$
$$h=2\sqrt{3}$$
2. Wykorzystujemy wzór na pole trójkąta
$$P=\frac{1}{2} \cdot a \cdot h$$
$$P=\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} \implies P=4\sqrt{3}$$
Sposób 2
Obliczamy pole trójkąta z nowo poznanego wzoru na pole trójkąta równobocznego, gdzie długość boku bez potrzeby wyliczania wysokości starcza
$$P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} $$
1. Wiemy, że nasz bok ma 4 cm, czyli $$a = 4$$
2. Podstawiamy więc pod wzór:
$$P = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} \implies P=4\sqrt{3}$$
własności trójkąta prostokątnego
Z trójkątem prostokątnym zapoznaliśmy się blisko w dziale Trygonometria. Teraz jednak zwróćmy uwagę na najważniejszej właściwości tej figury:
- Suma kątów ostrych wynosi $90^{\circ}$.
- Do obliczenia brakującego boku możemy wykorzystać Twierdzenie Pitagorasa:
$a^2 + b^2 = c^2$
Przykład 2.
Oblicz miarę trzeciego boku trójkąta wiedząc, że przyprostokątne są równe i mają po 5 cm.
Jeśli:
- Trójkąt jest prostokątny.
- Masz obliczyć długość trzeciego brakującego boku.
Wiedz, że kroi się Pitagoras!
$$5^2 + 5^2 = c^2$$
$$50 = c^2 $$
$$ c = 5\sqrt{2}$$
trójkąt równoboczny wpisany w okrąg oraz opisany na trójkącie
podobieństwo trójkątów
Trójkąty podobne to trójkąty, które mają takie same kąty, ale różnią się wielkością. Oznacza to, że ich odpowiednie boki są proporcjonalne, czyli stosunki długości odpowiadających sobie boków są równe.
Dwa trójkąty są podobne, jeśli spełniają jeden z poniższych warunków:
KK (Kąt - Kąt): Dwa kąty jednego trójkąta są równe dwóm kątom drugiego trójkąta.
BBB (Bok- Bok - Bok): Stosunki długości wszystkich trzech odpowiednich boków są równe.
BKB (Bok- Kąt - Bok): Stosunki dwóch odpowiednich boków są równe, a kąty między tymi bokami są takie same.
trójkąty przystające
Trójkąty są przystające, jeśli mają identyczny kształt i rozmiar, czyli odpowiadające sobie boki są równe oraz odpowiadające sobie kąty są równe.
Aby sprawdzić, czy trójkąty są przystające, wystarczy spełnić jeden z następujących warunków:
BBB (Bok- Bok - Bok): Wszystkie trzy boki jednego trójkąta są równe trzem bokom drugiego trójkąta.
BKB (Bok- Kąt - Bok): Dwa boki i kąt między nimi w jednym trójkącie są równe odpowiednim elementom w drugim trójkącie.
KBK (Kąt - Bok - Kąt): Dwa kąty i bok między nimi w jednym trójkącie są równe odpowiednim elementom w drugim trójkącie.
twierdzenie o dwusiecznej kąta
Twierdzenie o dwusiecznej kąta w trójkącie mówi, że:
Dwusieczna kąta w trójkącie dzieli przeciwległy bok na odcinki proporcjonalne do długości dwóch pozostałych boków.
Jeśli w trójkącie $ABC$, dwusieczna kąta $C$ przecina bok $AB$ w punkcie $D$, to:
$$\frac{|AD|}{|BD|} = \frac{|AC|}{|BC|}$$
- Odcinek $AD$ jest proporcjonalny do boku $AC$.
- Odcinek $BD$ jest proporcjonalny do boku $BC$.
Przykład 3.
W trójkącie $ABC$ bok $AB=6$, $AC=9$. Dwusieczna kąta $C$ przecina bok $AB$ w punkcie $D$, a $|BC|=10$. Chcemy znaleźć długości odcinków $BD$ i $DC$
twierdzenie talesa
Twierdzenie Talesa mówi, że:
Jeśli ramiona kąta są przecięte przez dwie proste równoległe, to odcinki wyznaczone na jednym ramieniu są proporcjonalne do odpowiadających im odcinków na drugim ramieniu.
Jeśli w trójkącie $ABC$, dwusieczna kąta $C$ przecina bok $AB$ w punkcie $D$, to:
$$\frac{|AB|}{|PA|} = \frac{|CD|}{|PC|}$$
- Odcinki $PA$ i $PC$ są proporcjonalne.
- Odcinki $AB$ i $CD$ są proporcjonalne.
Podstawowe czworokąty
Czworokąty można podzielić na różne typy, w zależności od długości boków, miar kątów, czy symetrii. Najbardziej znane rodzaje czworokątów to kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez i deltoid. Każdy z tych typów ma unikalne właściwości. Suma kątów w czworokącie wynosi zawsze 360$^{\circ}$.
Kwadrat
- wszystkie boki są takiej samej długości;
- każdy kąt ma $90^{\circ}$;
- przekątne są równe;
- przekątne przecinają się pod kątem prostym (prostopadłe);
- $\text{POLE}= a \cdot a$.
Prostokąt
- przeciwległe boki są takiej samej długości;
- każdy kąt ma $90^{\circ}$;
- przekątne są równe, ale nie są prostopadłe;
- $\text{POLE} = a \cdot b$.
Romb
- wszystkie boki są takiej samej długości;
- kąty przeciwległe są sobie równe;
- przekątne przecinają się pod kątem prostym (prostopadłe);
- przekątne przecinają się w połowie;
- $\displaystyle \text{POLE} = \frac{(e \cdot f)}{2}.$
Równoległobok
- przeciwległe boki są równej długości i są równoległe;
- przekątne są różnej długości i nie są prostopadłe;
- $\text{POLE} = a \cdot h$.
Trapez
- jedna para boków (podstawy) jest równoległa;
- $\displaystyle\text{POLE} = \frac{(a+b)\cdot h}{2}$.
Deltoid
- dwie pary sąsiednich boków mają tę samą długość;
- przekątne są różnej długości i przecinają się pod kątem prostym;
- jedna z przekątnych jest osią symetrii figury;
- $\displaystyle\text{POLE} = \frac{(e \cdot f)}{2}$.
Koło VS OKRĄG
Koło to figura geometryczna złożona z punktów leżących w odległości nie większej niż promień od środka tej figury.
Okrąg to zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie, które są oddalone o tę samą odległość (promień) od danego punktu (środka okręgu) albo inaczej mówiąc jest to linia, która jest zawsze tak samo daleko od jednego punktu w środku.
KOŁO
OKRĄG
Podstawowe własności Koła i Okręgu
- Środek - punkt centralny.
- Promień ($r$) - odcinek od środka do obwodu.
- Średnica ($d$) - odcinek przechodzący przez środek.
- Cięciwa - odcinek łączący dwa punkty leżące na okręgu.
- Obwód - długość linii otaczającej koło.
- Pole - powierzchnia wewnątrz koła.
OBWÓD
$ L = 2\pi r $
Promień ma 4cm. Oblicz obwód i pole.
$L = 2*\pi*4 \qquad L=8\pi$
POLE
$ P = \pi r^2 $
$P=\pi*r^2 \qquad P=16\pi$
Kąty w okręgu
Kąt wpisany ($\alpha$) w okręgu to kąt, którego wierzchołek leży na okręgu, a ramiona są cięciwami okręgu.
Miara kąta wpisanego jest równa połowie miary kąta środkowego ($2\alpha$), opartego na tym samym łuku.
Przykład
W podanym okręgu miara kąt a wynosi $30^{\circ}$. Podaj miary kątów $\beta$ i $\gamma$.
Krok 1: miara kąta $\beta$.
Zauważamy, że wszystkie trzy kąty oparte są na tym samym łuku. Kąt $\alpha$ jest kątem wpisanym, dlatego wiemy że kąt $\beta$ (jako kąt środkowy) będzie dwa razy większy niż kąt $\alpha$. Jego miara wynosi więc $60^{\circ}$.
Krok 2: miara kąta $\gamma$ .
Analogicznie postępujemy z kątem $\gamma$. Skoro jest on oparty na tym samym łuku co kąt $\alpha$ i również jest kątem wpisanym, to oznacza, że ma dokładnie taką samą miarę jak kąt $\alpha$, czyli $30^{\circ}$.
Sieczna i styczna
Sieczna
-
prosta, która przecina okrąg w dróch punktach.
Styczna
-
prosta, która ma z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny i jest do niego prostopadła w punkcie styczności.
Twierdzenie o odcinkach stycznych
Jeśli proste styczne do okręgu w punktach $A$ i $B$ przecinają się w punkcie $P$, to odcinki $|PA|$ i $|PB|$ mają dokładnie tę samą długość.
- $A$ i $B$ to punkty styczności prostych z okręgiem,
- proste styczne przecinają się w zewnętrznym punkcie $P$,
- stąd otrzymujemy równość odcinków: $|PA| = |PB|$.
wycinek koła
Wycinek koła to fragment koła, który kształtem przypomina „kawałek pizzy”. Jest on ograniczony dwoma promieniami wychodzącymi ze środka koła oraz łukiem okręgu.
Jego pole możemy obliczyć ze wzoru:
$P=\frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2$
Natomiast długość łuku określa wzór:
$L=\frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2 \pi r$
Przykład
Wiedząc, że długość łuku ($L$) jest równa $4\pi$, a promień ($r$) wynosi 6, oblicz miarę kąta $\alpha$, a następnie oblicz pole wycinka koła.
Krok 1: miara kąta.
$4 \pi= \frac{\alpha}{360^\circ} * 2 \pi * 6$
$4 = \frac{\alpha}{360^\circ} * 12$
$\frac{4}{12}= \frac{\alpha}{360^\circ}$
$\alpha = 120^\circ$
Krok 2: Oblicz pole wycinka koła.
$P= \frac{120^\circ}{360^\circ} * \pi * 6^2$
$P= \frac{1}{3} * \pi * 36$
$P= 12 \pi$
Twierdzenie o kącie między styczną i cięciwą
Kąt między styczną a cięciwą (kąt dopisany) jest równy połowie kąta środkowego, który jest oparty na tym samym łuku. Aby to lepiej zrozumieć, rozważmy trzy przypadki, które możesz znaleźć w oficjalnych kartach wzorów CKE.
Okrąg wpisany w figurę vs okrąg opisany na figurze
Bardzo często powyższe pojęcia są błędnie uznawane za tożsame. Uczniowie nie zauważają między nimi różnicy, choć jest ona zasadnicza.
Okrąg WPISANY W trójkąt
