Czym zajmuje się geometria analityczna?
Geometria analityczna to dział matematyki, który łączy geometrię z algebrą, używając układu współrzędnych do opisu figur i zależności między nimi. Dzięki niej można łatwo określać, czy punkty leżą na jednej prostej, liczyć odległości, znajdować środki odcinków, równania prostych czy analizować ich wzajemne położenie.
Czym zajmuje się geometria analityczna?
Układ współrzędnych – najczęściej kartezjański. Mamy oś $X$ i $Y$, każdy punkt ma przypisane współrzędne $(x,y)$
Punkt – określony przez swoje współrzędne w układzie, punkty oznaczamy z wielkich liter np. $A$, $B$, itd.
Prosta – opisana równaniem kierunkowym $y=ax+b$ lub ogólnym $Ax+By+C=0$
Odcinek – część prostej ograniczona dwoma punktami, można obliczyć jego długość i środek (jako punkty ze współrzędnymi)
Studencki Tip od Nati
W układzie współrzędnych zawsze warto podpisać sobie kratki. To jaką skalę przyjmiemy zależy od nas, ale z reguły jedna kratka = 1
RÓWNANIE KIERUNKOWE PROSTEJ
Już wiesz czym jest prosta, teraz nieco bardziej zagłębimy się w temat. Pierwszym ważnym pojęciem związanym z prostą jest równanie kierunkowe. Wygląda to tak:
$y=$$a$$x+$$b$
$a$ = mówi nam jak stromo nachylona jest prosta, oraz czy jest funkcją rosnącą czy malejącą
$b$ = punkt przecięcia prostej z osią $Y$, ma współrzędne $(0, b)$
$a>0$ to funkcja rosnąca
$a<0$ to funkcja malejąca
Przykład 1. Na podstawie rysunku nr. 1 wyznacz równanie prostej
1. Chcemy wyznaczyć $b \to$ Patrzymy w jakim punkcie prosta przecina oś $y$
$(0,4)$ ponieważ pierwszą współrzędną odczytujemy z osi $x$ a drugą z osi $y$
widzimy, że jest to punkt $(0,4)$, zatem $b=4$
2. Aby wyznaczyć a patrzymy w jakich punktach możemy łatwo znaleźć punkty, które leżą na tej prostej. U nas będzie to $(0,4)$ i $(-7,0)$.
OPCJA 1: podstawiamy współrzędne punktów pod równanie kierunkowe prostej
$$ \begin{array} \\y=ax+b \\ 0=a\cdot (-7)+4\\ 4=a\cdot 0 + 4\\ \\ 7a=4\\ a=\frac{4}{7} \end{array} $$
PS. Potrzebujesz dwóch punktów, aby policzyć równanie funkcji liniowej. Mamy punkt $A = (0,4)$ i $B = (-7, 0)$
OPCJA 2: liczymy po kratkach
Pomiędzy tymi punktami idziemy 4 kratki do góry i 7 kratek w prawo. Dlatego $a = \frac{4}{7}$
3. Zatem równanie tej prostej to $y= \frac{4}{7}x + 4$.
Studencki Tip od Emi
Jak to zapamiętać? Kratki, które idziemy góra/ dół to licznik ułamka a prawo/lewo to mianownik ułamka
równanie ogólne prostej
Oprócz równania kierunkowego prostej mamy jeszcze tzw. równanie ogólne postaci:
$Ax+By+C=0$
Jak możemy przekształcić wyrażenie z postaci kierunkowej na ogólną?
Przerzucamy wszystko na jedną stronę równania. np.
$$
\begin{array}
\\
y=\frac{4}{7}x+4 & \to & -\frac{4}{7}x+y-4=0
\end{array}
$$
Jak możemy przekształcić wyrażenie z postaci kierunkowej na ogólną?
Przerzucamy wszystko na jedną stronę równania. np.
$$
\begin{array}
\\
y=\frac{4}{7}x+4 \\
\downarrow\\
-\frac{4}{7}x+y-4=0
\end{array}
$$
proste prostopadłe i równoległe
PROSTE PROSTOPADŁE
- tworzą kąt prosty
- mają współczynnik kierunkowy a odwrotny i przeciwny
$a_1 \cdot a_2 = -1$
PROSTE RÓWNOLEGŁE
- nigdy się nie przecinają
- mają takie same współczynniki kierunkowe a
$a_1=a_2$
odległość punktu od prostej
Do obliczenia odległości punktu od prostej wykorzystamy podany wzór.
$ \displaystyle d=\frac{|A\cdot x_0 + B\cdot y_0 + C|}{\sqrt{A^2+B^2}} $
Aby wyznaczyć odległość punktu od prostej potrzebujemy:
a) równanie prostej w postaci ogólnej $Ax + By + C = 0$
b) punkt $(x,y)$
Wyznaczanie punktu przecięcia prostych
Aby wyznaczyć punkt przecięcia prostych o podanych równaniach musimy:
1. Przyrównać oba równania do siebie $\to$ w ten sposób wyznaczymy współrzędną $x$
2. Podstawić współrzędną $x$ do jednego z równania prostej
Przykład 1. Mamy proste o równaniach $\color{#ea5e71}y= \frac{1}{2}x + 2$ i $\color{#2f9e6b}y= 2x +3$. Chcemy wyznaczyć punkt przecięcia tych prostych (punkt wspólny)
1. Przyrównujemy oba równania do siebie $\to$ w ten sposób wyznaczymy współrzędną $x$
$$ \begin{array} \\ \frac{1}{2}x+2=2x+3\\ -1=\frac{2}{2}x\\ x=-\frac{2}{3} \end{array} $$
2. Podstawiamy współrzędną $x$ do jednego z równania prostej
$$ \begin{array} \\ y=2\cdot (-\frac{2}{3})+3\\ y=-\frac{4}{3}+3\\ y=1\frac{2}{3} \end{array} $$
Dwie proste mają tylko JEDEN punkt wspólny (chyba, że są równoległe, wtedy nie mają punktów wspólnych)
Przykład 1. Dana jest prosta o równaniu $y = x + 3$ i punkt $Z$ $(5,2)$. Wyznacz odległość pomiędzy nimi.
1. Przekształcamy równanie z postaci kierunkowej na ogólną
$$ \begin{array} \\ y=x+3\\ \color{#FBC5A3}-x\color{#93CB9F}+y\color{#9BC7FC}-3\color{#000}=0\\ \color{#FBC5A3}A=-1 \ \ \color{#93CB9F}B=1 \ \ \color{#9BC7FC}C=-3\\ \color{#eb5e72}x=5 \ \ \color{#f6bec5}y=2 \end{array} $$
2. Podstawiamy do wzoru
$$ \begin{array} \\ y=2\cdot (-\frac{2}{3})+3\\ y=-\frac{4}{3}+3\\ y=1\frac{2}{3} \end{array} $$
Jak wyznaczyć długość odcinka znając jego końce?
Wyobraź sobie, że masz podaną sytuację:
Twoim zadaniem jest wyznaczenie długości tego odcinka łączącego punkty $A$ i $B$.
W takim wypadku zastosujesz wzór:
$ |AB|=\sqrt{\displaystyle (x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2} $
Przykład 1. Jaka odległość dzieli punkt $A (1,3)$ i $B (9,9)$?
opcja 1: korzystamy ze wzoru
$$ \begin{array} \\ \sqrt{(9-1)^2+(9-3)^2}=\\ =\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10 \end{array} $$
opcja 2: wykorzystujemy twierdzenie pitagorasa
Jeśli jesteś fanem Pitagorasa to coś dla ciebie. Patrzymy ile kratek dzieli punkt $A$ od punktu $B$ porównując współrzędne $x$ i $y$.
Współrzędne $x$: $9-1=8$
Współrzędne $y$: $9-3=6$
$$
\begin{array}
\\
64+36=d^2\\
d=10
\end{array}
$$
Studencki Tip od Emi
(Tak naprawdę to działa to na tej samej zasadzie co podany wzór ale dużo łatwiej zapamiętać to w ten sposób)
Współrzędne środka odcinka
Aby wyznaczyć środek odcinka będziemy korzystać ze wzoru:
$ \begin{array} \\ \displaystyle x_S=\frac{x_A+x_B}{2} & \displaystyle y_S=\frac{y_A+y_B}{2} \end{array} $
Jak najłatwiej zrozumieć ten wzór? Załóżmy że mamy punkty $A (1,1)$ i $B (3,3)$. Dość naturalnie możemy odgadnąć że środkiem będzie punkt $(2,2)$. Dlaczego? Wykorzystujemy w głowie właśnie ten wzór liczymy “średnią” z tych dwóch punktów dla każdej ze współrzędnych osobno. Dlatego mamy:
$1+3 = 4$ i $\frac{4}{2} = 2$ dla współrzędnych $x$
$1+ 3 = 4$ i $\frac{4}{2} = 2$ dla współrzędnych $y$
Połączmy obie umiejętności
Przykład 1. Dane są punkty $A = (4,4)$ i $B = (x,y)$, środkiem odcinka $AB$ jest punkt $C = (2,1)$. Wyznacz współrzędne $x$ i $y$ oraz oblicz długość odcinka $AB$
1. Obliczamy długość odcinka $BC$
$
\begin{array}
\\
4-2=2 \ \text{dla} \ x\\
4-1=3 \ \text{dla} \ y
\end{array}
$
TWIERDZENIE PITAGORASA
$
\begin{array}
\\
4+9=|BC|^2\\
|BC|=\sqrt{13}
\end{array}
$
2. Obliczamy długość odcinka $AB$
Skoro $C$ jest środkiem odcinka $AB$ to: $$ |AB|=2\cdot |BC|=2\sqrt{13} $$
3. Wyznaczamy punkt $A$
$2-x=2$ dla $x$ czyli $x=0$
$1-y=3$ dla $y$ czyli $y=-2$
$A=(0,-2)$
Równanie okręgu
Zazwyczaj w zadaniach dotyczących równania okręgu będziemy posługiwać się podanym wzorem:
$ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 $
Jest to tzw. postać kanoniczna
Liczby pod $a$ i $b$ mówią nam o współrzędnych środka okręgu. Natomiast $r$ to promień okręgu.
Przykład 1. Dany jest okrąg o równaniu $(x+3)^2+(y−2)^2=9$. Podaj jego promień oraz współrzędne środka.
1. Promień to pierwiastek kwadratowy z wartości $9$ czyli $3$
2. Współrzędne punktu to liczby w nawiasach ale ze znakiem przeciwnym czyli $(-3, 2)$
