Czym zajmuje się geometria analityczna?
Geometria analityczna to dział matematyki, który łączy geometrię z algebrą, używając układu współrzędnych do opisu figur i zależności między nimi. Dzięki niej można łatwo określać, czy punkty leżą na jednej prostej, liczyć odległości, znajdować środki odcinków, wyznaczać równania prostych czy analizować ich wzajemne położenie.
Podstawowe pojęcia
Układ współrzędnych – najczęściej kartezjański. Mamy oś $X$ i $Y$, a każdy punkt ma przypisane współrzędne $(x,y)$.
Punkt – określony przez swoje współrzędne w układzie; punkty oznaczamy dużymi literami, np. $A, B$ itd.
Prosta – opisana równaniem kierunkowym $y = ax + b$ lub ogólnym $Ax + By + C = 0$.
Odcinek – część prostej ograniczona dwoma punktami. Można obliczyć jego długość oraz wyznaczyć środek (jako punkt o określonych współrzędnych).
Studencki Tip od Nati
W układzie współrzędnych zawsze warto opisać jednostki na osiach. O tym, jaką skalę przyjmiemy, decydujemy sami, jednak z reguły przyjmuje się, że jedna kratka odpowiada jednostce 1.
RÓWNANIE KIERUNKOWE PROSTEJ
Skoro wiesz już, czym jest prosta, zagłębimy się w szczegóły. Pierwszym kluczowym zagadnieniem jest równanie kierunkowe, które ma postać:
$y=$$a$$x+$$b$
$a$ - mówi nam jak stromo nachylona jest prosta, oraz czy jest funkcją rosnącą czy malejącą.
$b$ - punkt przecięcia prostej z osią $Y$, ma współrzędne $(0, b)$
$a>0$ - funkcja rosnąca;
$a<0$ - funkcja malejąca.
Przykład 1. Na podstawie rysunku nr. 1 wyznacz równanie prostej
1. Chcemy wyznaczyć $b \to$ Patrzymy w jakim punkcie prosta przecina oś $y$.
Jest to punkt $(0,4)$, ponieważ pierwszą współrzędną odczytujemy z osi $x$ a drugą z osi $y$.
Widzimy, że jest to punkt $(0,4)$, zatem $b=4$.
2. Aby wyznaczyć $a$ patrzymy w jakich punktach możemy łatwo znaleźć punkty, które leżą na tej prostej. U nas będzie to $(0,4)$ i $(-7,0)$.
OPCJA 1: podstawiamy współrzędne punktów pod równanie kierunkowe prostej
$$ \begin{array}{l} y=ax+b \\ 0=a\cdot (-7)+4\\ 4=a\cdot 0 + 4\\ \\ 7a=4\\ a=\frac{4}{7} \end{array} $$
PS. Potrzebujesz dwóch punktów, aby policzyć równanie funkcji liniowej. Mamy punkt $A = (0,4)$ i $B = (-7, 0)$.
OPCJA 2: liczymy po kratkach
Pomiędzy tymi punktami idziemy 4 kratki do góry i 7 kratek w prawo. Dlatego $a = \frac{4}{7}$.
3. Zatem równanie tej prostej to $y= \frac{4}{7}x + 4$.
Studencki Tip od Emi
Jak zapamiętać współczynnik kierunkowy? Licznik ułamka to liczba kratek w pionie (góra/dół), a mianownik to liczba kratek w poziomie (prawo/lewo).
równanie ogólne prostej
Oprócz równania kierunkowego, prosta może być opisana tzw. równaniem ogólnym, które ma postać:
$Ax+By+C=0$
Jak możemy przekształcić wyrażenie z postaci kierunkowej na ogólną?
Przerzucamy wszystko na jedną stronę równania. np:
$$
\begin{array}{l}
\\
y=\frac{4}{7}x+4 & \to & -\frac{4}{7}x+y-4=0
\end{array}
$$
Jak możemy przekształcić wyrażenie z postaci kierunkowej na ogólną?
Przerzucamy wszystko na jedną stronę równania. np.
$$
\begin{array}
\\
y=\frac{4}{7}x+4 \\
\downarrow\\
-\frac{4}{7}x+y-4=0
\end{array}
$$
proste prostopadłe i równoległe
PROSTE PROSTOPADŁE
- tworzą kąt prosty;
- mają współczynnik kierunkowy $a$ odwrotny i przeciwny.
$a_1 \cdot a_2 = -1$
PROSTE RÓWNOLEGŁE
- nigdy się nie przecinają;
- mają takie same współczynniki kierunkowe $a$.
$a_1=a_2$
odległość punktu od prostej
Do obliczenia odległości punktu od prostej wykorzystamy podany wzór:
$ \displaystyle d=\frac{|A\cdot x_0 + B\cdot y_0 + C|}{\sqrt{A^2+B^2}} $
Aby wyznaczyć odległość punktu od prostej potrzebujemy:
a) równanie prostej w postaci ogólnej $Ax + By + C = 0$;
b) punkt $(x,y)$.
Wyznaczanie punktu przecięcia prostych
Aby wyznaczyć punkt przecięcia prostych o podanych równaniach musimy:
1. Przyrównać oba równania do siebie $\to$ w ten sposób wyznaczymy współrzędną $x$.
2. Podstawić współrzędną $x$ do jednego z równań prostej.
Przykład 1. Mamy proste o równaniach $\color{#ea5e71}y= \frac{1}{2}x + 2$ i $\color{#2f9e6b}y= 2x +3$. Chcemy wyznaczyć punkt przecięcia tych prostych (punkt wspólny).
1. Przyrównujemy oba równania do siebie $\to$ w ten sposób wyznaczymy współrzędną $x$:
$$ \begin{array}{l} \\ \frac{1}{2}x+2=2x+3\\ -1=\frac{2}{2}x\\ x=-\frac{2}{3} \end{array} $$
2. Podstawiamy współrzędną $x$ do jednego z równania prostej:
$$ \begin{array}{l} \\ y=2\cdot (-\frac{2}{3})+3\\ y=-\frac{4}{3}+3\\ y=1\frac{2}{3} \end{array} $$
Dwie proste mają tylko JEDEN punkt wspólny (chyba, że są równoległe - wtedy nie mają punktów wspólnych).
Przykład 2. Dana jest prosta o równaniu $y = x + 3$ i punkt $Z=(5,2)$. Wyznacz odległość pomiędzy nimi.
1. Przekształcamy równanie z postaci kierunkowej na ogólną:
$$ \begin{array}{l} \\ y=x+3\\ \color{#FBC5A3}-x\color{#93CB9F}+y\color{#9BC7FC}-3\color{#000}=0\\ \color{#FBC5A3}A=-1 \ \ \color{#93CB9F}B=1 \ \ \color{#9BC7FC}C=-3\\ \color{#eb5e72}x=5 \ \ \color{#f6bec5}y=2 \end{array} $$
2. Podstawiamy do wzoru:
$$ \begin{array}{l} \\ y=2\cdot (-\frac{2}{3})+3\\ y=-\frac{4}{3}+3\\ y=1\frac{2}{3} \end{array} $$
Jak wyznaczyć długość odcinka znając jego końce?
Wyobraź sobie, że masz podaną sytuację:
Twoim zadaniem jest wyznaczenie długości odcinka łączącego punkty $A$ i $B$.
W takim wypadku zastosujesz wzór:
$ |AB|=\sqrt{\displaystyle (x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2} $
Przykład 1. Jaka odległość dzieli punkt $A=(1,3)$ i $B=(9,9)$?
opcja 1: korzystamy ze wzoru
$$ \begin{array}{l} \\ \sqrt{(9-1)^2+(9-3)^2}=\\ =\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10 \end{array} $$
opcja 2: wykorzystujemy twierdzenie pitagorasa
Jeśli jesteś fanem Pitagorasa to jest to coś dla ciebie. Patrzymy ile kratek dzieli punkt $A$ od punktu $B$ porównując współrzędne $x$ i $y$.
Współrzędne $x$: $9-1=8$
Współrzędne $y$: $9-3=6$
$$
\begin{array}{l}
\\
64+36=d^2\\
d=10
\end{array}
$$
Studencki Tip od Emi
Tak naprawdę to działa to na tej samej zasadzie co podany wzór ale dużo łatwiej zapamiętać to w ten sposób.
Współrzędne środka odcinka
Aby wyznaczyć środek odcinka $AB$ o końcach w punktach $A=(x_A, y_A)$ oraz $B=(x_B, y_B)$, korzystamy z następującego wzoru:
$ \begin{array}{l} \\ \displaystyle x_S=\frac{x_A+x_B}{2} & \displaystyle y_S=\frac{y_A+y_B}{2} \end{array} $
Jak najłatwiej zrozumieć ten wzór? Załóżmy, że mamy punkty $A =(1,1)$ i $B =(3,3)$. Dość naturalnie możemy odgadnąć, że środkiem będzie punkt $(2,2)$. Dlaczego? Wykorzystujemy w głowie właśnie ten wzór - liczymy “średnią” z tych dwóch punktów dla każdej ze współrzędnych osobno. Dlatego mamy:
$1+3 = 4$ i $\frac{4}{2} = 2$ dla współrzędnych $x$.
$1+ 3 = 4$ i $\frac{4}{2} = 2$ dla współrzędnych $y$.
Połączmy obie umiejętności
Przykład 1. Dane są punkty $A = (4,4)$ i $B = (x,y)$, środkiem odcinka $AB$ jest punkt $C = (2,1)$. Wyznacz współrzędne $x$ i $y$ oraz oblicz długość odcinka $AB$.
1. Obliczamy długość odcinka $BC$:
$
\begin{array}{l}
\\
4-2=2 \ \text{dla} \ x\\
4-1=3 \ \text{dla} \ y
\end{array}
$
TWIERDZENIE PITAGORASA
$
\begin{array}{l}
\\
4+9=|BC|^2\\
|BC|=\sqrt{13}
\end{array}
$
2. Obliczamy długość odcinka $AB$:
Skoro $C$ jest środkiem odcinka $AB$ to: $$ |AB|=2\cdot |BC|=2\sqrt{13} $$
3. Wyznaczamy punkt $A$:
$2-x=2$ dla $x$ czyli $x=0$
$1-y=3$ dla $y$ czyli $y=-2$
$A=(0,-2)$
Równanie okręgu
W zadaniach dotyczących geometrii analitycznej najczęściej korzystamy z postaci kanonicznej równania okręgu:
$ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 $
Gdzie:
- $(a,b)$ - współrzędne środka okręgu;
- $r$ - długość promienia okręgu ($r>0$).
Przykład 1. Dany jest okrąg o równaniu $(x+3)^2+(y−2)^2=9$. Wyznacz jego promień oraz współrzędne środka.
1. Promień: $r^2 = 9$, zatem $r = \sqrt{9} = 3$.
2. Środek okręgu ($S$): Porównując równanie z postacią kanoniczną, odczytujemy wartości ze zmienionym znakiem: $S = (-3, 2)$.
