Trygonometria - tu.MATURA

Czym zajmuje się trygonometria?

Trygonometria to dział matematyki, który zajmuje się badaniem trójkątów, zwłaszcza prostokątnych. Służy do opisywania zależności między ich bokami i kątami.

W skrócie

Proporcje boków w trójkącie prostokątnym. Operujemy na kątach.

Kilka podstawowych definicji

Trójkąt prostokątny – trójkąt, który ma jeden kąt prosty ( $90^{\circ}$ ).

Przeciwprostokątna – najdłuższy bok w trójkącie prostokątnym, leżący naprzeciw kąta prostego.

Przyprostokątna – każdy z dwóch krótszych boków trójkąta, tworzących kąt prosty. W zależności od wybranego kąta ostrego wyróżniamy przyprostokątną przyległą oraz przeciwległą.

funckje trygonometryczne jakie poznasz

Na poziomie podstawowym poznajemy trzy funkcje trygonometryczne.

Oto one:

Sinus ( $sin$ ) – stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta, do długości przeciwprostokątnej.

sin(\alpha)=\frac{a}{c}

Cosinus ( $cos$ ) – stosunek długości przyprostokątnej przylegającej do kąta, do długości przeciwprostokątnej.

cos(\alpha)=\frac{b}{c}

Tangens ( $tan$ ) – stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta, do długości przyprostokątnej przylegającej do kąta.

tan(\alpha)=\frac{a}{b}

PST! Jest jeszcze cotanges, ale nie musisz go umieć na maturze podstawowej.

Jakie wartości przyjmują funkcje trygonometryczne w każdej ćwiartce

Na maturze podstawowej skupimy się jedynie na pierwszej i drugiej ćwiartce.

Wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów

Studencki Tip od Emi

Nie musisz pamiętać tych wartości. Wszystko znajdziesz w tablicach wzorów!

jak wyliczyć sin, cos i tg dla kąta rozwartego

Może się zdarzyć, że zostaniesz poproszony o obliczenie funkcji sinus, cosinus lub tangens dla kąta większego niż $90^{\circ}$ . W takim wypadku nie użyjesz wcześniej poznanych wzorów. Z pomocą przychodzi karta z wzorami matematycznymi – w dziale trygonometria znajdziesz poniższy rysunek.

sin(\alpha)=\frac{y}{r}

cos(\alpha)=\frac{x}{r}

tg(\alpha)=\frac{y}{x}, \ \ x\neq0

gdzie:

r=|OM|=\sqrt{x^2+y^2}>0

$|OM|$ to długość odcinka od punkty $O$ do punktu $M$ .

$M$ to punkt o współrzędnych $(x,y)$ . Długość odcinka $x$ i $y$ odczytujemy z osi współrzędnych.

Jak obliczyć funkcje za pomocą powyższych wzorów?

Przykład 1. Załóżmy, że nasz punkt $M$ ma współrzędne $(-3, 4)$ . Policzmy zatem $sin$ , $cos$ i $tg$

1. Liczymy z twierdzenia Pitagorasa długość $r$ , czyli długość odcinka $|MO|=|OM|$ :

$(-3)^2+4^2=r^2$ $9+16=25$ $r^2=25$ $r=5$

2. Wyznaczamy $x$ i $y$ :

$x=-3$ $y=4$

3. Obliczamy $sin$ , $cos$ i $tg$ , czyli teraz tylko podstawiamy do wzorków:

$sin(\alpha)=\frac{y}{r}=\frac{4}{5}$ $cos(\alpha)=\frac{x}{r}=-\frac{3}{5}$ $tg(\alpha)=\frac{y}{x}=-\frac{4}{3}$

Studencki Tip od Nati

Tak jak długość odcinka $x$ odczytujemy z osi $X$ , tak długości $r=|OM|$ nie możemy odczytać z wykresu lub zmierzyć na oko - trzeba go policzyć. Czemu? Leży on ukośnie względem osi współrzędnych.

Co jeśli nie znamy współrzędnych punktu $M$ ? Wtedy z pomocą przychodzą poniższe zależności. Są to tzw. wzory redukcyjne. Pozwalają one zamienić funkcję kąta rozwartego na funkcję kąta ostrego.

$sin(180^{\circ}-\alpha)=sin(\alpha)$

$cos(180^{\circ}-\alpha)=-cos(\alpha)$

$tg(180^{\circ}-\alpha)=-tg(\alpha)$

Przykład 1. Chcemy obliczyć $sin(135^{\circ})$

1. Korzystamy z tego wzoru:

$sin(180^{\circ}-\alpha)=sin(\alpha)$

2. Podstawiamy co wiemy:

alfa u nas to $135^{\circ}$
$sin(180^{\circ}-135^{\circ})=sin(45^{\circ})$

3. Patrzymy do tabeli i odczytujemy wartość:

$sin(45^{\circ})=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Przykład 1. Chcemy obliczyć $cos(120^{\circ})$

1. Korzystamy z tego wzoru:

$cos(180^{\circ}-\alpha)=-cos(\alpha)$

2. Podstawiamy co wiemy:

Pamiętaj o -. We wzorach redukcyjnych przy cosinusie pojawia się minus
$cos(180^{\circ}-120^{\circ})=-cos(60^{\circ})$

3. Patrzymy do tabeli i odczytujemy wartość:

$-cos(60^{\circ})=-\frac{1}{2}$

co jest takiego wyjątkowego w tych trójkątach?

Trójkąty o kątach ( $45^{\circ}$ , $45^{\circ}$ , $90^{\circ}$ ) i ( $30^{\circ}$ , $60^{\circ}$ , $90^{\circ}$ ) są wyjątkowe, ponieważ ich boki mają stałe, proste proporcje. Dzięki temu łatwo można obliczyć długości boków, znając tylko jeden z nich (podczas gdy przy standardowym korzystaniu z twierdzenia Pitagorasa potrzebujemy dwóch boków). Są to tzw. trójkąty szczególne, często wykorzystywane w zadaniach maturalnych, gdzie szybkie znalezienie proporcji boków jest przydatne.

Jeśli dostaniesz zadanie, w którym masz daną długość tylko jednego boku, to wiedz, co tu się święci – właśnie te trójkąty!

trójkąt $45^{\circ}$ $45^{\circ}$ $90^{\circ}$

Pierwszym z wyjątkowych trójkątów to ten o kątach $45^{\circ}$ $45^{\circ}$ $90^{\circ}$ .

Oto jego zależności:

Własności tego trójkąta:

Równoramienny, prostokątny, kąty $45^{\circ}$ , $45^{\circ}$ , $90^{\circ}$ .

Przykład 1. Wiemy, że trójkąt jest prostokątny i równoramienny, a także, że jego przeciwprostokątna ma długość $8$ . Chcemy obliczyć długości pozostałych boków.

Studencki Tip od Emi

Jeśli zapomnisz tych zależności, możesz wyliczyć brakujący bok korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

trójkąt $30^{\circ}$ $60^{\circ}$ $90^{\circ}$

Drugi wyjątkowy trójkąt jest połową trójkąta równobocznego.

Występują w nim poniższe zależności.

Własności tego trójkąta:

Połowa trójkąta równobocznego, prostokątny, kąty $30^{\circ}$ , $60^{\circ}$ , $90^{\circ}$ .

Przykład 2. Wiemy, że trójkąt jest prostokątny, a jego kąty są w stosunku $1:2:3$ . Ponadto wiemy, że przeciwprostokątna ma długość $6$ . Chcemy obliczyć pozostałe długości boków.

Studencki Tip od Emi

Pamiętaj, aby dobrze przypisać boki do kątów: najkrótszy bok zawsze leży naprzeciw najmniejszego kąta ( $30^{\circ}$ ), a najdłuższy (przeciwprostokątna) naprzeciw kąta prostego.

twierdzenie cosinusów - definicja

Twierdzenie cosinusów pozwala nam obliczyć trzeci bok trójkąta w sytuacji, kiedy znamy długości dwóch pozostałych boków oraz miarę kąta między nimi.

$c^2=a^2+b^2-2abcos(\gamma)$

Przykład 1. Dany jest trójkąt $ABC$ , w którym $|AB| = 2$ oraz $|AC| = 5$ . Cosinus kąta między nimi wynosi $\frac{3}{5}$ . Chcemy obliczyć długość boku $|BC|$

1. Korzystamy z tego wzoru:

2. Podstawiamy co wiemy:

$c^2=a^2+b^2-2abcos(\gamma)$

$|BC|^2=2^2+5^2+2\cdot 2\cdot 5 \cdot \frac{3}{5}$

3. Obliczamy:

Studencki Tip od Emi

Wbrew pozorom jest to bardzo przydatne twierdzenie, zwłaszcza przy zadaniach z działu stereometria.

$|BC|^2=4+25+12$

$|BC|^2=41$

$|BC|=\sqrt{41}$

Na pewno znasz ten wzór na pole trójkąta:

$P=\frac{1}{2}ah$

Co jeśli nie mamy wysokości lub wszystkich boków trójkąta? Istnieje praktyczny sposób, który umożliwia wyznaczenie pola trójkąta, gdy znamy długości dwóch jego boków oraz kąt między nimi.

Oto on:

$P=\frac{1}{2}absin(\gamma)$

Jak to działa?

Przykład 1. Chcemy obliczyć pole trójkąta $ABC$ wiedząc, że $|AB| = 10$ , $|BC| = 12$ , a kąt między nimi jest kątem prostym

1. Korzystamy z tego wzoru:

2. Wyznaczamy $sin(90^{\circ})$

$P=\frac{1}{2}absin(\gamma)$

$sin(90^{\circ})=1$

3. Podstawiamy co wiemy i obliczamy:

$P=\frac{1}{2}\cdot 10 \cdot 12 \cdot 1$

$P=60$

Czym zajmuje się trygonometria?

Kilka podstawowych definicji

funckje trygonometryczne jakie poznasz

Jakie wartości przyjmują funkcje trygonometryczne w każdej ćwiartce

Wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów

Studencki Tip od Emi

Nie musisz pamiętać tych wartości. Wszystko znajdziesz w tablicach wzorów!

jak wyliczyć sin, cos i tg dla kąta rozwartego

Przykład 1. Załóżmy, że nasz punkt M ma współrzędne (-3, 4). Policzmy zatem sin, cos i tg

1. Liczymy z twierdzenia Pitagorasa długość r, czyli długość odcinka |MO|=|OM|:

2. Wyznaczamy x i y:

3. Obliczamy sin, cos i tg, czyli teraz tylko podstawiamy do wzorków:

Studencki Tip od Nati

Tak jak długość odcinka x odczytujemy z osi X, tak długości r=|OM| nie możemy odczytać z wykresu lub zmierzyć na oko - trzeba go policzyć. Czemu? Leży on ukośnie względem osi współrzędnych.

sin(180^{\circ}-\alpha)=sin(\alpha)

cos(180^{\circ}-\alpha)=-cos(\alpha)

tg(180^{\circ}-\alpha)=-tg(\alpha)

Przykład 1. Chcemy obliczyć sin(135^{\circ})

1. Korzystamy z tego wzoru:

sin(180^{\circ}-\alpha)=sin(\alpha)

2. Podstawiamy co wiemy:

3. Patrzymy do tabeli i odczytujemy wartość:

Przykład 1. Chcemy obliczyć cos(120^{\circ})

1. Korzystamy z tego wzoru:

cos(180^{\circ}-\alpha)=-cos(\alpha)

2. Podstawiamy co wiemy:

3. Patrzymy do tabeli i odczytujemy wartość:

co jest takiego wyjątkowego w tych trójkątach?

trójkąt 45^{\circ} 45^{\circ} 90^{\circ}

Przykład 1. Wiemy, że trójkąt jest prostokątny i równoramienny, a także, że jego przeciwprostokątna ma długość 8. Chcemy obliczyć długości pozostałych boków.

Studencki Tip od Emi

Jeśli zapomnisz tych zależności, możesz wyliczyć brakujący bok korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

trójkąt 30^{\circ} 60^{\circ} 90^{\circ}

Przykład 2. Wiemy, że trójkąt jest prostokątny, a jego kąty są w stosunku 1:2:3. Ponadto wiemy, że przeciwprostokątna ma długość 6. Chcemy obliczyć pozostałe długości boków.

Studencki Tip od Emi

Pamiętaj, aby dobrze przypisać boki do kątów: najkrótszy bok zawsze leży naprzeciw najmniejszego kąta (30^{\circ}), a najdłuższy (przeciwprostokątna) naprzeciw kąta prostego.

twierdzenie cosinusów - definicja

c^2=a^2+b^2-2abcos(\gamma)

Przykład 1. Dany jest trójkąt ABC, w którym |AB| = 2 oraz |AC| = 5. Cosinus kąta między nimi wynosi \frac{3}{5}. Chcemy obliczyć długość boku |BC|

1. Korzystamy z tego wzoru:

2. Podstawiamy co wiemy:

c^2=a^2+b^2-2abcos(\gamma)

3. Obliczamy:

Studencki Tip od Emi

Wbrew pozorom jest to bardzo przydatne twierdzenie, zwłaszcza przy zadaniach z działu stereometria.

P=\frac{1}{2}ah

P=\frac{1}{2}absin(\gamma)

Przykład 1. Chcemy obliczyć pole trójkąta ABC wiedząc, że |AB| = 10, |BC| = 12, a kąt między nimi jest kątem prostym

1. Korzystamy z tego wzoru:

2. Wyznaczamy sin(90^{\circ})

P=\frac{1}{2}absin(\gamma)

3. Podstawiamy co wiemy i obliczamy:

Przykład 1. Załóżmy, że nasz punkt $M$ ma współrzędne $(-3, 4)$ . Policzmy zatem $sin$ , $cos$ i $tg$

1. Liczymy z twierdzenia Pitagorasa długość $r$ , czyli długość odcinka $|MO|=|OM|$ :

2. Wyznaczamy $x$ i $y$ :

3. Obliczamy $sin$ , $cos$ i $tg$ , czyli teraz tylko podstawiamy do wzorków:

Tak jak długość odcinka $x$ odczytujemy z osi $X$ , tak długości $r=|OM|$ nie możemy odczytać z wykresu lub zmierzyć na oko - trzeba go policzyć. Czemu? Leży on ukośnie względem osi współrzędnych.

$sin(180^{\circ}-\alpha)=sin(\alpha)$

$cos(180^{\circ}-\alpha)=-cos(\alpha)$

$tg(180^{\circ}-\alpha)=-tg(\alpha)$

Przykład 1. Chcemy obliczyć $sin(135^{\circ})$

$sin(180^{\circ}-\alpha)=sin(\alpha)$

Przykład 1. Chcemy obliczyć $cos(120^{\circ})$

$cos(180^{\circ}-\alpha)=-cos(\alpha)$

trójkąt $45^{\circ}$ $45^{\circ}$ $90^{\circ}$

Przykład 1. Wiemy, że trójkąt jest prostokątny i równoramienny, a także, że jego przeciwprostokątna ma długość $8$ . Chcemy obliczyć długości pozostałych boków.

trójkąt $30^{\circ}$ $60^{\circ}$ $90^{\circ}$

Przykład 2. Wiemy, że trójkąt jest prostokątny, a jego kąty są w stosunku $1:2:3$ . Ponadto wiemy, że przeciwprostokątna ma długość $6$ . Chcemy obliczyć pozostałe długości boków.

Pamiętaj, aby dobrze przypisać boki do kątów: najkrótszy bok zawsze leży naprzeciw najmniejszego kąta ( $30^{\circ}$ ), a najdłuższy (przeciwprostokątna) naprzeciw kąta prostego.

$c^2=a^2+b^2-2abcos(\gamma)$

Przykład 1. Dany jest trójkąt $ABC$ , w którym $|AB| = 2$ oraz $|AC| = 5$ . Cosinus kąta między nimi wynosi $\frac{3}{5}$ . Chcemy obliczyć długość boku $|BC|$

$c^2=a^2+b^2-2abcos(\gamma)$

$P=\frac{1}{2}ah$

$P=\frac{1}{2}absin(\gamma)$

Przykład 1. Chcemy obliczyć pole trójkąta $ABC$ wiedząc, że $|AB| = 10$ , $|BC| = 12$ , a kąt między nimi jest kątem prostym

2. Wyznaczamy $sin(90^{\circ})$

$P=\frac{1}{2}absin(\gamma)$