Czym są potęgi i do czego się przydają?
- Potęgowanie to działanie matematyczne polegające na wielokrotnym mnożeniu liczby przez siebie.
- Zostało wprowadzone, aby ułatwić i skrócić zapis wielokrotnego mnożenia (choć niejednemu maturzyście spędza sen z powiek).
Przykład 1. Po co mnożyć 2 pięciokrotnie, jeśli możemy po prostu napisać:
2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2
1 \quad 2 \quad 3 \quad 4 \quad 5
Mnożymy 2 pięciokrotnie przez siebie.
2^5
Czyli podnosimy 2 do potęgi 5.
2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2
Obydwa zapisy znaczą to samo, ale jeden jest krótszy 😉
Co to są pierwiastki?
- Pierwiastkowanie to działanie odwrotne do potęgowania. Proste prawda?
- Pytamy: jaka liczba podniesiona do potęgi równej stopniowi pierwiastka da nam liczbę znajdującą się pod znakiem pierwiastka?
- Warto pamiętać, że w zbiorze liczb rzeczywistych wynik pierwiastkowania stopnia parzystego z liczby nieujemnej jest zawsze liczbą nieujemną.
Przykład 2. Jaka liczba podniesiona do kwadratu da nam 16? Dowiedzmy się!
\sqrt{16} =
Pierwiastek bez liczby to pierwiastek II stopnia.
4^2 = 16
4^2 daje 16, więc właśnie 4 to odpowiedź!
\sqrt{16} = 4
Studencki Tip od Nati
Pamiętaj, nie ma co uczyć się definicji na pamięć. Ważne, żeby rozumieć i umieć zastosować!
Czas poznać wzory!
potęgi
Wzory i własności
nazwa
wzór
Przykład
mnożenie potęg o tych samych podstawach
a^m \cdot a^n = a^{m+n}
2^7 \cdot 2^4 = 2^{7+4}
mnożenie potęg o różnych podstawach
a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^{n}
2^4 \cdot 9^4 = (2 \cdot 9)^4
dzielenie potęg o tych samych podstawach
\frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}
\frac{2^7}{2^4}= 2^{7-4}
dzielenie potęg o różnych podstawach
\frac{a^n}{b^n}= (\frac{a}{b})^n
\frac{2^4}{9^4}= (\frac{2}{9})^4
potęga potęgi
(a^m)^n = a^{m \cdot n}
(2^7)^4 = 2^{7 \cdot 4}
zamiana ułamka na potęgę
a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}
2^{-4} = \frac{1}{2^{4}}
zamiana ułamka niewymiernego
a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}
2^{-\frac{7}{4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{2^7}}
zamiana pierwiastka na potęgę
\frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}
\frac{2^7}{2^4}= 2^{7-4}
Inne
a^1 = a
a^0 = 1
0^n = 0
pierwia stki
Wzory i własności
nazwa
wzór
Przykład
mnożenie pierwiastków jednego stopnia
\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}
\sqrt{2} \cdot \sqrt{9} = \sqrt{2 \cdot 9}
mnożenie pierwiastków o tej samej podstawie
\sqrt[m]{a} \cdot \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{m}} \cdot a^{\frac{1}{n}}
\sqrt[7]{2} \cdot \sqrt[4]{2} = 2^{\frac{1}{7}} \cdot 2^{\frac{1}{4}}=2^{\frac{1}{7} + \frac{1}{4}}
pierwiastek i potęga jednego stopnia
(\sqrt[n]{a})^n = a
(\sqrt[4]{2})^4 = 2
dzielenie pierwiastków jednego stopnia
\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}
\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}} = \sqrt{\frac{2}{9}}
pierwiastek drugiego stopnia z kwadratu
\sqrt{a^2} = |a|
\sqrt{2^2} = |2|=2
Studencki Tip od Oli
Wzory wyobraź sobie jako ramki na zdjęcia. Zamiast zdjęć, wstawiasz do nich odpowiednie liczby!
Jak poradzić sobie z potęgami i pierwiastkami na maturze?
a^{-n} = \frac{1}{a^n}
Wizualne rozpisanie wzoru pomaga niektórym go lepiej zrozumieć.
Zamiast cokolwiek liczyć, zmieniamy ułożenie “ramek” i otrzymujemy wynik.
Potrafisz rozpoznać, jakie wzory kryją się pod pozostałymi ramkami?
matura
Tipy i strategie maturalne
1
korzystaj z karty wzorów
- Patrzysz na zadanie i nawet nie wiesz jak zacząć? Pierwsza zasada: przeanalizuj wzory na spokojnie, a znajdziesz odpowiedź.
- Jeśli masz trudność w wizualizacji wzorów na literkach, zapisz przykłady liczbowe oraz nazwy w swojej karcie wzorów i ucz się z niej korzystać.
2
cztery przykazania kombinowania
1. Większość zadań opiera się na potęgach liczb 2, 3, i 5
2^0 \quad 2^1 \quad 2^2 \quad 2^3 \quad 2^4 \quad 2^5
1 \quad 2 \quad 4 \quad 8 \quad 16\quad 32
- Wypisz je i miej pod ręką.
- Korzystaj z nich przy pierwiastkach, zamianie liczb na potęgi i odwrotnie.
2. każdy pierwiastek da się zamienić na potęgę
a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^n}
- Pierwiastki często stresują.
- Nie ma ich w karcie wzorów.
- Wzór na zamianę na potęgę jest w karcie 😉
3. ułamków też da się pozbyć
a^{-n}=\frac{1}{a^n}
\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}
- Również ułamków możemy się pozbyć odpowiednimi wzorami z karty.
4. dużą liczbę rozbij na wielokrotny iloczyn
szukam wielokrotnych iloczynów, np. liczb 2 i 5:
dostaję potęgi liczb 2 i 5:
200 = 4 \cdot 50
200 = 2^2 \cdot 2 \cdot 25
200 = 2^3 \cdot 5 \cdot 5
200 = 2^3 \cdot 5^2
- Przydatne, gdy nie jesteś w stanie wyciągnąć pierwiastka z liczby.
- Zrobisz to zwykłym dzieleniem lub rozkładem na czynniki pierwsze.
3
Nie bój się zadań!
- Próbuj, kombinuj i pamiętaj – PRAKTYKA CZYNI MISTRZA!
- Korzystaj przede wszystkim z karty wzorów.
Czym są logarytmy?
- Logarytm to wykładnik potęgi, do której należy podnieść podstawę a, aby otrzymać liczbę logarytmowaną b.
założenia
a > 0
a \neq 1
b > 0
a
podstawa logarytmu
Do jakiej potęgi należy ją podnieść...
\log_a{b} = c
b
liczba logarytmowana
...aby otrzymać tę liczbę?
c
wykładnik potęgi
Do tej potęgi należy podnieść a, by mieć b?
To jak zamienić logarytm na potęgowanie?
\log_a{b} = c
a^c = b
Przykład. Do jakiej potęgi należy podnieść 4, aby otrzymać 16?
\log_4{16} =
Zamieńmy logarytm na potęgę - tak łatwiej dojść do rozwiązania.
4^2 = 16
4^2 daje 16, więc właśnie 2 to odpowiedź!
\log_4{16} = 2
Studencki Tip od Nati
Nie bój się logarytmów, staraj się wyobrażać je jako inny zapis potęgowania!
Czas poznać wzory!
loga
rytmy
Wzory i własności
nazwa
wzór
Przykład
dodawanie logarytmów - te same podstawy!
\log_a{b} + log_a{c} = log_a{b \cdot c}
\log_5{2} + log_5{8} = log_5{2 \cdot 8}
odejmowanie logarytmów - te same podstawy!
\log_a{b} - log_a{b} = log_a{b \div c}
\log_5{2} - log_5{8} = log_5{2 \div 8}
mnożenie logarytmu przez liczbę
p \cdot \log_a{b} = \log_a{b}^p
3 \cdot \log_5{2} = \log_5{2}^3
zamiana podstawy logarytmu
\log_b{c} = \frac{\log_a{c}}{\log_a{b}}
\log_2{8} = \frac{\log_5{8}}{\log_5{2}}
inne
a^{log_a{b}} = b
\log_5{2} + log_5{8} = log_5{2 \cdot 8}
\log_a{1} = 0
\log_5{1} = 0
\log_a{a} = 1
\log_5{5} = 1
Studencki Tip od Nati
Zwracaj uwagę na znaki! Często myli nam się przy logarytmach + oraz \cdot jeśli chodzi o wzory. Wzorów z kategorii Inne naucz się na pamięć - nie ma ich na karcie maturalnej (oprócz pierwszego)!
Czym jest wartość bezwzględna?
- Wartość bezwzględna (moduł liczby) dla dowolnej liczby rzeczywistej to:
|2| = 2 \text{ bo } 2 \ge 0
|-5| = 5 \text{ bo } 5 < 0
Czyli co to tak właściwie jest?
wartość bezwzględna jako odległość na osi
- Jest to odległość liczby x od 0 na osi liczbowej.
Przykład. Liczymy wartość bezwzględną z 5.
Odległość na osi od -5 do 0 oraz od 0 do 5 w obu przypadkach jest równa 5.
|-5| = 5
|5| = 5
Studencki Tip od Nati
Odległość (na osi liczbowej) nie może być ujemna, dlatego wartość bezwzględna zawsze jest liczbą nieujemną!
Czas na kilka strategii maturalnych.
matura
Tipy i strategie maturalne
1
zawsze rozpatruj dwa przypadki
- Od zera zawsze możemy iść tą samą odległość w dwie strony – na plus i na minus.
- W karcie wzorów jest podpowiedź.
2
zacznij od analizy rysunku z zadania
1. liczba odejmowana jest środkiem przedziału
|x - 5| < 2
- Aby dojść do rozwiązania idziemy na prawo i na lewo od 5 o 2 jednostki.
- Jeśli mielibyśmy |x+5|, to środkiem by była liczba -5 (zawsze przeciwny znak).
2. odległość od środka przedziału do krańca to prawa strona
|x - 5| < 2
- Aby dojść do rozwiązania idziemy i na prawo i na lewo od 5 o 2 jednostki.
3. zamknięty odcinek - część wspólna - znak mniejszości <
x jest większe od -2
\wedge
x jest mniejsze od 7
- Zapisujemy spójnik “i”.
- Czytaj to jako “x jest większe od 3 I mniejsze od 7”.
- Obydwa warunki muszą być spełnione jednocześnie – stąd słowo I.
4. otwarte odcinki - suma zbiorów - znak większości >
x może być mniejsze od -2
\vee
x może być większe od 5
- Zapisujemy spójnik “lub”.
- Czytaj to jako “x może być mniejsze od -2 LUB większe od 5”.
- Obydwa warunki nie są możliwe jednocześnie – stąd słowo LUB.
Czym są przedziały liczbowe?
- Przedział liczbowy to zbiór liczb rzeczywistych, które spełniają pewne określone w poleceniu warunki.
- Wyróżniamy przedziały: otwarte, zamknięte, nieskończone.
- Przedział może też być np. lewostronnie zamknięty i prawostronnie otwarty.
przedział otwarty
liczby na brzegach nie należą do przedziału
x \in (-5, 5)
to to samo co
-5 < x < 5
Zielony to obszar przedziału (pamiętaj: -5 i 5 nie należą do przedziału).
Niezamalowane kółka na osi oznaczają, że liczby nie wliczają się do przedziału!
przedział zamknięty
liczby na brzegach należą do przedziału
x \in
to to samo co
-5 \leq x \leq 5
Niebieski to obszar przedziału (pamiętaj: -5 i 5 należą do przedziału).
Zamalowane kółka na osi oznaczają, że liczby wliczają się do przedziału.
przedział nieograniczony (nieskończony)
w przedziale pojawia się nieskończoność, np.:
x \in (-\inf, \inf)
x \in <-6, \inf)
x \in <-\inf, 24)
Czym są zbiory?
- Zbiór to pojęcie pierwotne, czyli takie, którego się nie definiuje.
- Zbiory oznaczamy dużymi literami np. A ,B ,C, D,\dots
- Elementy zbioru oznaczamy małymi literami a, b, c, d,\dots
suma zbioru a i b
wszystkie elementy obu zbiorów
A \cup B = { x : x\in A \vee x \in B}
Różnica zbioru A i B
elementy należące do zbioru $A$ i nienależące do zbioru $B$
A \setminus B = { x : x\in A \wedge x \notin B}
iloczyn zbioru A i B
część wspólna; elementy należące jednocześnie do obu zbiorów
A \cap B = { x : x\in A \wedge x \in B}
liczby rzeczywiste - definicja
- Wszystkie liczby, nadrzędny zbiór nad pozostałymi zbiorami.
- Każda liczba, która przychodzi Ci do głowy, to liczba rzeczywista :)
