Równania i nierówności

Czym jest niewiadoma?

Niewiadomą nazywamy coś, czego szukamy w naszym równaniu lub nierówności. Jest jak zamknięte pudełko, którego wartość chcemy poznać.
Skoro nie znamy wartości, trzeba użyć jakiegoś symbolu, aby ją oznaczyć. Z reguły używa się małej litery $x$ , ale mogą to być wszystkie litery z alfabetu, np. $a, b, c, \dots, y, z$ .

Czym są równania liniowe?

Równanie liniowe to równanie, w którym niewiadome występują tylko w pierwszej potędze (np. $x$ , $y$ , $3x$ , $\frac{x}{2}$ ).
Dążymy do wyznaczenia wartości niewiadomej x tak, aby po podstawieniu lewa strona równała się prawej (L=P).

Przykład 1. Jak wygląda równanie liniowe?

lewa strona równania

$2$ $x$ $+3=11$

prawa strona równania

niewiadoma, którą chcemy wyznaczyć

znak równości

To jak rozwiązać takie równanie i poznać wartość $x$ ?

Przenieś liczby na jedną stronę

Wszystko, co nie ma przy sobie niewiadomej $x$ , wyrzuć na przeciwną stronę.

dodawanie, np. $x + 3$

odejmij 3 od obu stron

odejmowanie, np. $x - 3$

dodaj 3 do obu stron

pozbądź się tego, co stoi przy $x$

Chcemy samego $x$ , więc musimy się pozbyć przyklejonej do niego liczby.

mnożenie, np. $2x$

podziel obie strony przez 2

dzielenie, np. $\frac {x} {2}$

pomnóż obie strony przez 2

Przykład 2. Rozwiązywanie równania liniowego

Wykorzystajmy poznane wskazówki i rozwiążmy poniższe równanie:

Nasza taktyka: niewiadome na lewą stronę, a liczby znane na prawą. Chcemy samego $x$ z lewej strony. Przeszkadza nam 3.

$2\boxed{x} + 3 = 11$

Aby pozbyć się 3, musimy obustronnie odjąć 3.

$2\boxed{x} = 11 - 3$

Po lewej mamy $2x$ , a chcemy wyliczyć samo $x$ .

$2\boxed{x} = 8$

Przeszkadza nam 2, zatem dzielimy obustronnie przez 2.

$\boxed{x}= 8\div 2$

Poznaliśmy naszą niewiadomą! To 4!:)

$\boxed{x} = 4$

Możemy jeszcze sprawdzić, czy po podstawieniu 4 pod $x$ lewa strona będzie równa prawej:

Przykład 3. Sprawdzenie

$2\cdot$ $4$ $+3=11$

$8+3=11$

$11=11$

$L=P$

Lewa strona $=$ prawa strona - oznacza to, że zadanie jest dobrze rozwiązane!

Definicja dziedziny

Dziedzina to po prostu zbiór wszystkich wartości, jakie może przyjąć nasza niewiadoma, aby działanie matematyczne dalej miało sens.
Np. w matematyce nie możemy dzielić przez $0$ , więc:

$\frac {1} {x+2} = 5$

$x+2$ nie może być równe zero,
więc wykluczamy $x=-2$ z dziedziny.

Studencki Tip od Nati

W równaniach liniowych warto robić sprawdzenie - to dobry sposób na wyłapanie błędów. Gdy Lewa strona nie równa się prawej, coś jest nie tak!

czym są nierówności liniowe?

Nierówność liniowa to nierówność z niewiadomą w pierwszej potędze, gdzie dążymy do wyznaczenia zakresu (przedziału) wartości tej niewiadomej.

Przykład 1. Jak wygląda nierówność liniowa?

lewa strona nierówności

$2$ $x$ $+3>11$

prawa strona nierówności

niewiadoma, którą chcemy wyznaczyć

znak większości,
może być też znak

<

lub

\leq

\geq

To jak rozwiązać taką nierówność i poznać wartość $x$ ?
Na szczęście bardzo podobnie do równań!

Przykład 2. Rozwiązywanie nierówności liniowej

Nasza taktyka: niewiadome na lewą stronę, a liczby znane na prawą. Chcemy samego $x$ z lewej strony. Przeszkadza nam 3.

$2\boxed{x}+3>11$

Aby pozbyć się 3, musimy obustronnie odjąć 3.

$2\boxed{x}>11-3$

Po lewej mamy $2x$ , a chcemy wyliczyć samo $x$ .

$2\boxed{x}>8$

Przeszkadza nam 2, zatem dzielimy obustronnie przez 2. Liczba jest dodatnia, więc nie zmieniamy znaku.

$\boxed{x}>8\div2$

Poznaliśmy naszą niewiadomą! Czytamy to jako: “ $x$ jest większe od 4”.

$\boxed{x}>4$

Odpowiedź możemy zapisać też na drugi sposób. Czytamy ten zapis: “ $x$ należy do przedziału od 4 otwartego do plus nieskończoności”.

$x \in (4, \infty)$

Możemy jeszcze sprawdzić, czy po podstawieniu czegoś większego od 4 pod $x$ , lewa strona będzie większa od prawej:

Przykład 3. Sprawdzenie

$2\cdot$ $5$ $+3>11$

$10+3>11$

$13>11$

$L>P$

Lewa strona $>$ prawa strona - oznacza to, że zadanie jest dobrze rozwiązane!

Przenieś liczby na jedną stronę

Wszystko, co nie ma przy sobie niewiadomej $x$ wyrzuć na przeciwną stronę:

dodawanie, np. $x + 3$

odejmij 3 od obu stron

odejmowanie, np. $x - 3$

dodaj 3 do obu stron

pozbądź się tego, co stoi przy x

Chcemy samego $x$ , więc musimy się pozbyć przyklejonej do niego liczby:

mnożenie, np. $2x$

podziel obie strony przez 2

dzielenie, np. $\frac {x} {2}$

pomnóż obie strony przez 2

uwaga!

Jeżeli mnożymy lub dzielimy przez liczbę ujemną (np. $-2$ , $-1$ ) to musimy zmienić (odwrócić) znak nierówności!

$-2x<8$ / : $(-2)$

$-2x>8$ / : $(-2)$

$x>-4$

$x<-4$

czym jest układ równań?

Układ równań to zbiór dwóch lub więcej równań, które mają wspólne niewiadome (czyli $x$ , $y$ , $z$ , itd.).
Chcemy w nim poznać wartości więcej niż jednej litery.

jak rozwiązać układ równań?

Istnieją na to różne metody. Warto popatrzeć chwilę na przykład i zastanowić się, która w tym przypadku będzie najlepsza do użycia.

metoda podstawiania

Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu specjalnego wzoru na dowolną niewiadomą z jednego równania (np. $y=2x+5$ ) i podstawieniu tej wartości do drugiego równania (wszędzie, gdzie jest $y$ , wpisujemy $2x+5$ ).

metoda przeciwnych współczynników

Metoda przeciwnych współczynników polega na dodaniu lub odjęciu równań tak, aby jedna zmienna nam się zredukowała.
Żeby to zrobić, musimy stworzyć niewiadome o przeciwnych współczynnikach (to, co stoi przy $x$ i $y$ ). Np. $2x$ i $-2x$ oraz $y$ i $-y$ .
Następnie podstawiamy uzyskaną wartość do jednego z równań, aby znaleźć drugą niewiadomą.

metoda graficzna

Metoda graficzna polega na narysowaniu obu równań w układzie współrzędnych (są to proste, jak funkcja liniowa) i znalezieniu ich punktu przecięcia – jest on rozwiązaniem układu równań.

Studencki Tip od Nati

Metoda graficzna jest fajna, ale raczej rzadko będziemy z niej korzystać. Warto wiedzieć, że istnieje, ale są szybsze sposoby na rozwiązanie układu równań - np. I i II 🙂

Przykład 1. Jak wygląda układ równań?

Mamy dwie zmienne: $x$ i $y$

klamra łącząca
ze sobą równania

$\left\{ \begin{array}{l} 2x+y=8&\\ 3x-2y=5 \end{array} \right.$

1. równanie

2. równanie

Przykład 2. I sposób - Metoda podstawiania

Wyznaczamy z dowolnego równania dowolną niewiadomą. W tym przykładzie wyznaczamy $y$ z pierwszego równania.

$\left\{ \begin{array}{l} 2\boxed{x}+y=8&\\ 3x-2\boxed{y}=5 \end{array} \right.$

Podstawiamy nasze $y$ z 1. równania w miejsce $y$ w 2. równaniu. To jest właśnie podstawienie!

$\left\{ \begin{array}{l} \boxed{y}=8-2x&\\ 3\boxed{x}-2\cdot\boxed{(8-2x)}=5 \end{array} \right.$

Wymnażamy nawiasy i porządkujemy równanie.

$\left\{ \begin{array}{l} y=8-2x&\\ 3\boxed{x}-16+4x=5 \end{array} \right.$

Upraszczamy drugie równanie - niewiadome na lewo, a liczby na prawo - pamiętając o zmianie znaku.

$\left\{ \begin{array}{l} y=8-2x&\\ 7\boxed{x}=5+16 \end{array} \right.$

Przy $x$ przeszkadza nam $7$ - chcemy je usunąć. Dzielimy obustronnie przez 7.

$\left\{ \begin{array}{l} y=8-2x&\\ 7\boxed{x}=21 \end{array} \right.$

Skoro $x=3$ , wracamy do równania 1 i pod $x$ podstawiamy otrzymane 3.

$\left\{ \begin{array}{l} \boxed{x}=21\div7=3&\\ y=8-2\cdot\boxed{3}=2 \end{array} \right.$

Nasze rozwiązania układu równań zapisujemy w klamrze. Warto zrobić tutaj też sprawdzenie, tak jak w rozdziale “Równania liniowe”.

$\left\{ \begin{array}{l} x=3&\\ y=2 \end{array} \right.$

Studencki Tip od Nati

Końcowe rozwiązania układu zapisujemy w klamrze i w kolejności alfabetycznej.

Studencki Tip od Oli

Najłatwiej znaleźć przeciwne współczynniki tam, gdzie jest sam $x$ lub $y$ . Wtedy wystarczy raz pomnożyć równanie przez szukany współczynnik (np. 2) i gotowe! Otrzymujemy $2x$ lub $2y$ .

Przykład 3. II sposób - Metoda przeciwnych współczynników

Teraz skupiamy się na tym, aby przy wybranej niewiadomej stała ta sama liczba w obu równaniach, ale z przeciwnymi znakami.

$\left\{ \begin{array}{l} 2\boxed{x}+y=8&\\ 3x-2\boxed{y}=5 \end{array} \right.$

U nas najłatwiej będzie otrzymać to przy $y$ . Mnożymy obustronnie pierwsze równanie przez 2, dzięki czemu otrzymamy $+2y$ . W drugim równaniu mamy $-2y$ .

$\left\{ \begin{array}{l} 2x+\boxed{y}=8 \ / \cdot2&\\ 3x-2\boxed{y}=5 \end{array} \right.$

Przy $y$ stoją te same liczby (2), ale z przeciwnymi znakami - to, co chcemy osiągnąć.

$\color{red}!\ \color{black}2y-2y=\color{red}0\ !$

Dodajemy oba równania do siebie - tak jak dodajemy pisemnie. Nic się tu nie zmienia.

$\frac { + \left\{\begin{matrix} 4x+\color{red}\cancel{\color{black}2y}\color{black}=16\\ 3x-\color{red}\cancel{\color{black}2y}\color{black}=5\\ \end{matrix}\right.} {4x+3x=16+5}$

Skoro $x=3$ , wracamy do pierwszego równania i pod $x$ podstawiamy otrzymane 3.

$7x=21$ $\boxed{x}=3$

Obliczamy wartość $y$ .

$2\cdot\boxed{3}+y=8$ $6+y=8$ $y=2$

Nasze rozwiązania układu równań zapisujemy w klamrze. Warto zrobić tutaj też sprawdzenie, tak jak w rozdziale “Równania liniowe”.

$\left\{ \begin{array}{l} x=3&\\ y=2 \end{array} \right.$

Przykład 4. III sposób - Metoda graficzna

Rysujemy funkcje liniowe z równania 1 i 2. Jak rysować funkcje i czym one są, dowiesz się w następnym dziale!

$\left\{ \begin{array}{l} 2x+y=8&\\ 3x-2y=5 \end{array} \right.$

Wyznaczamy $y$ w obu równaniach - to właśnie wzory naszych funkcji, które będziemy rysować:

Czym jest niewiadoma?

Czym są równania liniowe?

Przykład 1. Jak wygląda równanie liniowe?

2x+3=11

Przenieś liczby na jedną stronę

Wszystko, co nie ma przy sobie niewiadomej x, wyrzuć na przeciwną stronę.

pozbądź się tego, co stoi przy x

Chcemy samego x, więc musimy się pozbyć przyklejonej do niego liczby.

Przykład 2. Rozwiązywanie równania liniowego

Wykorzystajmy poznane wskazówki i rozwiążmy poniższe równanie:

Nasza taktyka: niewiadome na lewą stronę, a liczby znane na prawą. Chcemy samego x z lewej strony. Przeszkadza nam 3.

2\boxed{x} + 3 = 11

Aby pozbyć się 3, musimy obustronnie odjąć 3.

2\boxed{x} = 11 - 3

Po lewej mamy 2x, a chcemy wyliczyć samo x.

2\boxed{x} = 8

Przeszkadza nam 2, zatem dzielimy obustronnie przez 2.

\boxed{x}= 8\div 2

Poznaliśmy naszą niewiadomą! To 4!:)

\boxed{x} = 4

Przykład 3. Sprawdzenie

2\cdot 4 +3=11

8+3=11

11=11

L=P

Lewa strona = prawa strona - oznacza to, że zadanie jest dobrze rozwiązane!

Definicja dziedziny

\frac {1} {x+2} = 5

x+2 nie może być równe zero, więc wykluczamy x=-2 z dziedziny.

Studencki Tip od Nati

W równaniach liniowych warto robić sprawdzenie - to dobry sposób na wyłapanie błędów. Gdy Lewa strona nie równa się prawej, coś jest nie tak!

czym są nierówności liniowe?

Nierówność liniowa to nierówność z niewiadomą w pierwszej potędze, gdzie dążymy do wyznaczenia zakresu (przedziału) wartości tej niewiadomej.

Przykład 1. Jak wygląda nierówność liniowa?

2x+3>11

Przykład 2. Rozwiązywanie nierówności liniowej

Nasza taktyka: niewiadome na lewą stronę, a liczby znane na prawą. Chcemy samego x z lewej strony. Przeszkadza nam 3.

2\boxed{x}+3>11

Aby pozbyć się 3, musimy obustronnie odjąć 3.

2\boxed{x}>11-3

Po lewej mamy 2x, a chcemy wyliczyć samo x.

2\boxed{x}>8

Przeszkadza nam 2, zatem dzielimy obustronnie przez 2. Liczba jest dodatnia, więc nie zmieniamy znaku.

\boxed{x}>8\div2

Poznaliśmy naszą niewiadomą! Czytamy to jako: “x jest większe od 4”.

\boxed{x}>4

Odpowiedź możemy zapisać też na drugi sposób. Czytamy ten zapis: “x należy do przedziału od 4 otwartego do plus nieskończoności”.

x \in (4, \infty)

Przykład 3. Sprawdzenie

2\cdot 5 +3>11

10+3>11

13>11

L>P

Lewa strona > prawa strona - oznacza to, że zadanie jest dobrze rozwiązane!

Przenieś liczby na jedną stronę

Wszystko, co nie ma przy sobie niewiadomej x wyrzuć na przeciwną stronę:

pozbądź się tego, co stoi przy x

Chcemy samego x, więc musimy się pozbyć przyklejonej do niego liczby:

uwaga!

Jeżeli mnożymy lub dzielimy przez liczbę ujemną (np. -2, -1) to musimy zmienić (odwrócić) znak nierówności!

-2x<8 / :(-2)

-2x>8 / :(-2)

x>-4

x<-4

czym jest układ równań?

jak rozwiązać układ równań?

metoda podstawiania

metoda przeciwnych współczynników

metoda graficzna

Studencki Tip od Nati

Metoda graficzna jest fajna, ale raczej rzadko będziemy z niej korzystać. Warto wiedzieć, że istnieje, ale są szybsze sposoby na rozwiązanie układu równań - np. I i II 🙂

Przykład 1. Jak wygląda układ równań?

\left\{ \begin{array}{l} 2x+y=8&\\ 3x-2y=5 \end{array} \right.

Przykład 2. I sposób - Metoda podstawiania

Wyznaczamy z dowolnego równania dowolną niewiadomą. W tym przykładzie wyznaczamy y z pierwszego równania.

\left\{ \begin{array}{l} 2\boxed{x}+y=8&\\ 3x-2\boxed{y}=5 \end{array} \right.

Podstawiamy nasze y z 1. równania w miejsce y w 2. równaniu. To jest właśnie podstawienie!

\left\{ \begin{array}{l} \boxed{y}=8-2x&\\ 3\boxed{x}-2\cdot\boxed{(8-2x)}=5 \end{array} \right.

Wymnażamy nawiasy i porządkujemy równanie.

\left\{ \begin{array}{l} y=8-2x&\\ 3\boxed{x}-16+4x=5 \end{array} \right.

$2$ $x$ $+3=11$

Wszystko, co nie ma przy sobie niewiadomej $x$ , wyrzuć na przeciwną stronę.

pozbądź się tego, co stoi przy $x$

Chcemy samego $x$ , więc musimy się pozbyć przyklejonej do niego liczby.

Nasza taktyka: niewiadome na lewą stronę, a liczby znane na prawą. Chcemy samego $x$ z lewej strony. Przeszkadza nam 3.

$2\boxed{x} + 3 = 11$

$2\boxed{x} = 11 - 3$

Po lewej mamy $2x$ , a chcemy wyliczyć samo $x$ .

$2\boxed{x} = 8$

$\boxed{x}= 8\div 2$

$\boxed{x} = 4$

$2\cdot$ $4$ $+3=11$

$8+3=11$

$11=11$

$L=P$

Lewa strona $=$ prawa strona - oznacza to, że zadanie jest dobrze rozwiązane!

$\frac {1} {x+2} = 5$

$x+2$ nie może być równe zero,
więc wykluczamy $x=-2$ z dziedziny.

$2$ $x$ $+3>11$

Nasza taktyka: niewiadome na lewą stronę, a liczby znane na prawą. Chcemy samego $x$ z lewej strony. Przeszkadza nam 3.

$2\boxed{x}+3>11$

$2\boxed{x}>11-3$

Po lewej mamy $2x$ , a chcemy wyliczyć samo $x$ .

$2\boxed{x}>8$

$\boxed{x}>8\div2$

Poznaliśmy naszą niewiadomą! Czytamy to jako: “ $x$ jest większe od 4”.

$\boxed{x}>4$

Odpowiedź możemy zapisać też na drugi sposób. Czytamy ten zapis: “ $x$ należy do przedziału od 4 otwartego do plus nieskończoności”.

$x \in (4, \infty)$

$2\cdot$ $5$ $+3>11$

$10+3>11$

$13>11$

$L>P$

Lewa strona $>$ prawa strona - oznacza to, że zadanie jest dobrze rozwiązane!

Wszystko, co nie ma przy sobie niewiadomej $x$ wyrzuć na przeciwną stronę:

Chcemy samego $x$ , więc musimy się pozbyć przyklejonej do niego liczby:

Jeżeli mnożymy lub dzielimy przez liczbę ujemną (np. $-2$ , $-1$ ) to musimy zmienić (odwrócić) znak nierówności!

$-2x<8$ / : $(-2)$

$-2x>8$ / : $(-2)$

$x>-4$

$x<-4$

$\left\{ \begin{array}{l} 2x+y=8&\\ 3x-2y=5 \end{array} \right.$

Wyznaczamy z dowolnego równania dowolną niewiadomą. W tym przykładzie wyznaczamy $y$ z pierwszego równania.

$\left\{ \begin{array}{l} 2\boxed{x}+y=8&\\ 3x-2\boxed{y}=5 \end{array} \right.$

Podstawiamy nasze $y$ z 1. równania w miejsce $y$ w 2. równaniu. To jest właśnie podstawienie!

$\left\{ \begin{array}{l} \boxed{y}=8-2x&\\ 3\boxed{x}-2\cdot\boxed{(8-2x)}=5 \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} y=8-2x&\\ 3\boxed{x}-16+4x=5 \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} y=8-2x&\\ 7\boxed{x}=5+16 \end{array} \right.$

Przy $x$ przeszkadza nam $7$ - chcemy je usunąć. Dzielimy obustronnie przez 7.

$\left\{ \begin{array}{l} y=8-2x&\\ 7\boxed{x}=21 \end{array} \right.$

Skoro $x=3$ , wracamy do równania 1 i pod $x$ podstawiamy otrzymane 3.

$\left\{ \begin{array}{l} \boxed{x}=21\div7=3&\\ y=8-2\cdot\boxed{3}=2 \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} x=3&\\ y=2 \end{array} \right.$

Najłatwiej znaleźć przeciwne współczynniki tam, gdzie jest sam $x$ lub $y$ . Wtedy wystarczy raz pomnożyć równanie przez szukany współczynnik (np. 2) i gotowe! Otrzymujemy $2x$ lub $2y$ .

$\left\{ \begin{array}{l} 2\boxed{x}+y=8&\\ 3x-2\boxed{y}=5 \end{array} \right.$

U nas najłatwiej będzie otrzymać to przy $y$ . Mnożymy obustronnie pierwsze równanie przez 2, dzięki czemu otrzymamy $+2y$ . W drugim równaniu mamy $-2y$ .

$\left\{ \begin{array}{l} 2x+\boxed{y}=8 \ / \cdot2&\\ 3x-2\boxed{y}=5 \end{array} \right.$

Przy $y$ stoją te same liczby (2), ale z przeciwnymi znakami - to, co chcemy osiągnąć.

$\color{red}!\ \color{black}2y-2y=\color{red}0\ !$

$\frac { + \left\{\begin{matrix} 4x+\color{red}\cancel{\color{black}2y}\color{black}=16\\ 3x-\color{red}\cancel{\color{black}2y}\color{black}=5\\ \end{matrix}\right.} {4x+3x=16+5}$

Skoro $x=3$ , wracamy do pierwszego równania i pod $x$ podstawiamy otrzymane 3.

$7x=21$ $\boxed{x}=3$

Obliczamy wartość $y$ .

$2\cdot\boxed{3}+y=8$ $6+y=8$ $y=2$

$\left\{ \begin{array}{l} x=3&\\ y=2 \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} 2x+y=8&\\ 3x-2y=5 \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} y=-2x+8&\\ y=\frac{3}{2}x-\frac{5}{2} \end{array} \right.$