Czym zajmuje się stereometria
Stereometria to dział geometrii zajmujący się badaniem figur przestrzennych (trójwymiarowych), takich jak bryły oraz ich właściwości.
Kilka podstawowych definicji
Wielokąt - figura zamknięta utworzona przez odcinki, leżąca w jednej płaszczyźnie. Wielokąt foremny to wielokąt, który ma wszystkie boki i kąty równe, np. sześciokąt foremny.
Bryła - trójwymiarowa figura geometryczna ograniczona powierzchniami, np. graniastosłup o podstawie sześciokąta
Objętość - miara przestrzeni zajmowanej przez bryłę (np. pojemność naczynia). Wyrażamy ją w jednostkach sześciennych ($cm^3, m^3$ itd.).
Pole powierzchni - suma pól wszystkich ścian danej bryły (np. ilość materiału potrzebna do jej pokrycia). Wyrażamy je w jednostkach kwadratowych ($cm^2, m^2$ itd.).
czym są graniastosłupy
Graniastosłup to wielościan posiadający dwie równoległe i przystające podstawy oraz ściany boczne będące równoległobokami.
Graniastosłup prosty - graniastosłup, którego ściany boczne są prostopadłe do podstawy.
Graniastosłup pochyły - graniastosłup, którego ściany boczne nie są prostopadłe do podstawy (są równoległobokami).
Szczególne przypadki graniastosłupów:
Prostopadłościan
- Graniastosłup czworokątny.
- 6 prostokątnych ścian.
- Pole powierzchni: $P=2(ab+bc+ac)$.
- Objętość: $V=a*b*c$.
- Przekątne ścian zależą od wymiarów danej ściany.
- Przekątna bryły: $D = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$.
Sześcian
- Graniastosłup prawidłowy czworokątny.
- 6 identycznych kwadratowych ścian.
12 równych krawędzi.
- Pole powierzchni: $P=6a^2$.
- Objętość: $V=a^3$.
- Przekątna ściany bocznej: $d=a\sqrt{2}$.
- Przekątna bryły: $D=a\sqrt{3}$.
Przykład 1. Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny. Pole jednej podstawy wynosi $24\sqrt{3}$, a wysokość graniastosłupa $H = 6$. Oblicz pole całkowite oraz objętość bryły.
1. Wyznaczamy długość krawędzi podstawy ($a$):
Pole sześciokąta foremnego to suma pól sześciu trójkątów równobocznych. Korzystamy ze wzoru:
$6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ i przyrównujemy go do $24\sqrt{3}$.
$6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 24\sqrt{3}$
$\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$
$a^2\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$
$a=4$
2. Znając pole podstawy oraz wysokość obliczamy objętość:
$V = P_p \cdot H = 24\sqrt{3} \cdot 6 = 144\sqrt{3}$
3. Obliczamy pole powierzchni bocznej ($P_b$) i całkowitej ($P_c$):
$P_b = 6 \cdot a \cdot H = 6 \cdot 4 \cdot 6 = 144$
$P_c = 2 \cdot P_p + P_b = 2 \cdot 24\sqrt{3} + 144 = 48\sqrt{3} + 144$
Przykład 2. Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny. Pole jednej podstawy wynosi $6\sqrt{3}$, a wysokość graniastosłupa $H = 8$. Wyznacz sinus kąta zaznaczonego na rysunku.
Aby obliczyć sinus kąta $\alpha$, potrzebujemy długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego utworzonego przez wysokość graniastosłupa ($H$), przekątną podstawy ($x$) oraz przekątną ściany/bryły ($y$).
1. Wyznaczamy długość krawędzi podstawy ($a$):
$6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 6\sqrt{3}$
$\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$
$a^2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$
$a=2$
2. Zauważamy, że bok $x = 2a$ - wynika to z teog, że sześciokąt foremny można podzielić na 6 trójkątów równobocznych:
$x=2a=4$
3. Mając wysokość $H$ i bok $x$ obliczamy długość boku $y$:
$8^2+4^2=y^2 \qquad 64+16=80 \qquad y=4\sqrt{5} $
4. Teraz możemy obliczyć $\sin$ kąta zaznaczonego na rysunku:
$\sin{\alpha}=\frac{H}{y}=\frac{8}{4\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$
Czym są ostrosłupy
Ostrosłup - wielościan, którego podstawa jest wielokątem, a wszystkie ściany boczne to trójkąty posiadające wspólny wierzchołek.
Ostrosłup prawidłowy czworokątny:
-
Podstawa jest kwadratem.
- Wysokość ostrosłupa ($H$) pada na środek podstawy.
- Wszystkie krawędzie boczne są
równej długości.
- Objętość: $V=\frac{1}{3}\cdot H\frac{a^2}{3}$.
-
Pole całkowite: $P_c=a^2+2\cdot a\cdot h$.
Ostrosłup prawidłowy trójkątny
- Podstawa jest trójkątem równobocznym.
- Wysokość ostrosłupa ($H$) pada na środek podstawy.
- Wszystkie krawędzie boczne są równej długości.
- Objętość: $V=\frac{1}{3}\cdot H\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
- Pole całkowite: $P_c=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+\frac{3}{2}\cdot a\cdot h$.
Czworościan foremny:
- Szczególny ostrosłup prawidłowy.
- Każda ściana boczna jest trójkątem równobocznym.
Podstawa jest wielokątem foremnym.
- Wszystkie krawędzie są jednakowej długości.
- Objętość:$V=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$.
- Pole całkowite: $P_c=a^2\sqrt{3}$.
Przykład 1. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi bocznej długości $k = 5$ oraz krawędzi podstawy $a = 6$. Wyznacz cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.
1. Zaznaczamy kąt, którego cosinus musimy obliczyć - oznaczymy go symbolem $\alpha$.
2. Obliczamy długość odcinka $b$:
$b=\frac{1}{2}\cdot a=\frac{1}{2}\cdot6=3$
3. Wyznaczamy wysokość ściany bocznej ($h$) z twierdzenia Pitagorasa:
$5^2=3^2+h^2$
$25-9=16$
$h=4$
3. Obliczamy cosinus kąta $\alpha$:
$\cos{\alpha}=\frac{b}{h}=\frac{3}{4}$
Przykład 2. Ściana boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $\alpha = 60^\circ$. Krawędź podstawy ma długość $a = 6$. Oblicz objętość ostrosłupa.
1. Zaznaczamy kąt $\alpha=60^{\circ}$.
2. Do obliczenia objętości potrzebujemy długość wysokości $H$ i pole podstawy. To drugie możemy obliczyć wiedząc, że $a = 6$
$P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
$P_p=9\sqrt{3}$
3. $H$ możemy obliczyć wykorzystując własności trójkąta 30,60,90:
4. Obliczamy objętość:
$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H$
$V=\frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}\cdot 3=9\sqrt{3}$
Czym jest walec
Walec - bryła geometryczna mająca dwie identyczne, równoległe podstawy w kształcie koła oraz powierzchnię boczną w kształcie prostokąta zawiniętego wokół osi walca.
Własności:
- Ma dwie równoległe podstawy w kształcie koła.
- Oś walca to odcinek łączący środki obu podstaw.
- Objętość: $V=\pi\cdot r^2\cdot h$.
- Pole podstawy: $P_p=\pi\cdot r^2$.
- Pole powierzchni całkowitej: $P_c=2\pi r^2+2\pi\cdot r\cdot h$.
Przykład 1. Podstawa walca ma promień równy 3. Wysokość jest równa 12. Oblicz objętość walca.
1. Podstawiamy dane do wzoru:
$V=\pi\cdot r^2\cdot h$
$V=\pi\cdot 9\cdot 12$
$V=108\pi$
Odpowiedź: $108\pi$
Czym jest stożek
Stożek - bryła mająca podstawę w kształcie koła i wierzchołek, do którego zbiegają się wszystkie punkty powierzchni bocznej.
Własności:
- Ma podstawę w kształcie koła i wierzchołek, do którego zbiegają się wszystkie punkty powierzchni bocznej.
- Powierzchnia boczna jest wycinkiem koła.
- Oś stożka to odcinek łączący środek podstawy z wierzchołkiem.
- Objętość:$V=\frac{1}{3}\pi\cdot r^2\cdot h$.
- Pole podstawy: $P_p=\pi\cdot r^2$.
- Pole całkowite: $P_c=\pi r^2+2\pi\cdot r\cdot l$.
Przykład 2. Trójkąt prostokątny równoramienny o przyprostokątnych 2 obracamy tworząc stożek. Oblicz pole całkowite tego stożka.
1. wyznaczamy długość $l$ z trójkąta 45, 45, 90:
2. Obliczamy pole całkowite ze wzoru:
$P_c=\pi\cdot r^2+\pi\cdot r\cdot l$
$P_c=\pi\cdot 4+\pi\cdot 2\cdot 2\sqrt{2}$
$P_c=4\pi+4\sqrt{2}\pi$
Studencki Tip od Emi
Pamiętaj średnica to dwa promienie.
Czym jest kula
Kula - bryła powstała przez obrót koła wokół jego średnicy, w której wszystkie punkty na powierzchni są równo oddalone od środka.
Własności:
-
Wszystkie punkty na powierzchni są równo oddalone od środka.
- Środek kuli to punkt, z którego wszystkie promienie są równe.
- Nie ma krawędzi ani wierzchołków.
- Objętość: $V = \frac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3$.
- Pole powierzchni: $P=4\cdot\pi\cdot r^2$.
Przykład 3. Dana jest poniższa figura powstała z połączenia dwóch półkól i walca. Oblicz objętość tej bryły, wiedząc że promień jest równy 3, a stosunek wysokości walca do promienia jest równy 3:1.
