Czym jest optymalizacja?
W zadaniach optymalizacyjnych, jak już podpowiada nam nazwa, będziemy optymalizować nasze rozwiązanie.
Optymalizować – poszukiwać najlepszego rozwiązania według wybranego kryterium, z uwzględnieniem określonych ograniczeń.
Najczęściej optymalizujemy:
- pole,
- objętość,
- koszt/zysk,
- czas.
Na maturze, najlepszym rozwiązaniem będzie to największe, bądź najmniejsze.
- Wyobraźmy sobie, że stoimy przed wyborem działki. Naszym priorytetem jest to, by miała ona jak największą powierzchnię, czyli pole.
…Kto by nie chciał dużej działki? 🙂
- Dziwnym trafem okazuje się, że dostajemy w prezencie 100 metrów ogrodzenia, którym możemy ją otoczyć. Jest to nasz obwód.
Na portalu aukcyjnym znajdujemy dostępne działki:
1
Pole:
25\text{m}\cdot 25\text{m}=625\text{m}^2
2
Pole:
45\text{m}\cdot 5\text{m}=225\text{m}^2
3
Pole:
15\text{m}\cdot 35\text{m}=525\text{m}^2
Spośród trzech powyższych działek, kierując się kryterium największej powierzchni działki, wybralibyśmy działkę numer 1.
A co jeśli istnieje inna działka, o tym samym obwodzie, która ma większe pole? I jak ją znaleźć? To właśnie na to pytanie odpowiemy, rozwiązując zadanie optymalizacyjne – jakie wymiary powinna mieć działka o obwodzie 100m, aby jej pole było największe?
Mechanizm rozwiązywania zadania optymalizacyjnego
- Oznaczamy niewiadomą. Wyznaczamy dziedzinę zgodną z treścią zadania.
- Zapisujemy wzór funkcji, który opisuje szukaną wielkość.
- Upraszczamy wzór do postaci funkcji kwadratowej z jedna niewiadoma.
- Obliczamy współrzędną wierzchołka, bo to ona daje wartość największą lub najmniejszą.
- Sprawdzamy, czy otrzymany wynik należy do dziedziny.
- Gotowe!
Pytanie od Julki
Dlaczego to wierzchołek funkcji kwadratowej wyznacza naszą wartość ekstremalną (największą bądź najmniejszą)?
Wartość y w wierzchołku jest wartością największego możliwego pola.
Gdy współczynnik a jest mniejszy od 0 (ramiona skierowane do dołu), funkcja w wierzchołku osiąga najwyższą wartość.
Gdy współczynnik a jest większy od 0 (ramiona skierowane do góry), funkcja w wierzchołku osiąga najniższą wartość.
Wartość y w wierzchołku jest wartością najmniejszego możliwego pola.
Przykład 1. Suma dwóch nieujemnych liczb rzeczywistych x oraz y jest równa 12. Wyznacz x oraz y, dla których wartość wyrażenia 2x^2+y^2 jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą wartość.
1. Oznaczamy niewiadomą oraz wyznaczamy dziedzinę:
Suma dwóch nieujemnych liczb rzeczywistych x oraz y jest równa 12. Wyznacz x oraz y, dla których wartość wyrażenia 2x^2+y^2 jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą wartość.
x - pierwsza poszukiwana liczba, x\geq 0, x\in \mathbb{R}
y - druga poszukiwana liczba, y\geq 0, y\in \mathbb{R}
2. Zapisujemy wzór funkcji, który opisuje szukaną wielkość:
Suma dwóch nieujemnych liczb rzeczywistych x oraz y jest równa 12. Wyznacz x oraz y, dla których wartość wyrażenia 2x^2+y^2 jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą wartość.
(I) x+y=12, więc y=12-x
(II) f(x,y)=2x^2+y^2
3. Upraszczamy wzór do postaci funkcji kwadratowej z jedną niewiadomą:
(III) Podstawiamy!
f(x)=2x^2+(12-x)^2
f(x)=2x^2+144-24x+x^2
f(x)=3x^2-24x+144
4. Obliczamy współrzędną wierzchołka, bo to ona daje wartość największą lub najmniejszą:
Wyznaczona funkcja:
f(x)=3x^2-24x+144
a=3
a>3, więc ramiona skierowane są do góry
p=-\frac{b}{2a}, \\ q=-\frac{\Delta}{4a}
p=\frac{-b}{2a}=\frac{24}{6}=4
q=-\frac{\Delta}{4a}\implies możemy też podstawić wyznaczone p do wzoru funkcji
f(4)=3\cdot 4^2 - 24\cdot 4 + 144 = 48-36+144=96
ALE CO TO ZNACZY??
p - współrzędna x wierzchołka.
Jest to pierwsza szukana liczba.
q - współrzędna y wierzchołka.
Jest to minimalna wartość funkcji.
WIĘC!
x=4 \quad y=12-4=8
Minimalna wartość funkcji 2x^2+y^2 to 96.
