Optymalizacja to szukanie najlepszego rozwiązania — takiego, które coś maksymalizuje (np. największe pole) albo minimalizuje (np. najmniejszy koszt).
Innymi słowy: chodzi o znalezienie największej lub najmniejszej możliwej wartości.
Mechanizm rozwiązywanie zadania optymalizującego
Czytamy w poleceniu czy szukamy największej czy najmniejszej wartości
Na podstawie polecenia konstruujemy funkcję kwadratową.
Wyznaczamy dziedzinę funkcji kwadratowej
Wyznaczamy współrzędne wierzchołka tej funkcji
Upewniamy się czy wierzchołek należy do dziedziny funkcji
Sprawdzamy czy funkcja w wierzchołku osiąga ekstremalną wartość
Dobrze, teraz zobaczmy ten mechanizm na przykładzie.
Przykład 1.
Suma dwóch nieujemnych liczb rzeczywistych x oraz y jest równa 12. Wyznacz x oraz y, dla których wartość wyrażenia $2x^2+y^2$ jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą wartość
1. Wyznaczenie funkcji kwadratowej
$x+y=12 \hspace{2em} y=12-x$
$f(x) = 2x^2+(12-x)^2=3x^2-24x+144$
$\text{Skrócone przez 3: } f(x) = x^2-8x+48$
2. Wyznaczenie dziedziny
$x\in(0, 12) \hspace{2em} y\in(0, 12)$
3. Wyznaczenie wirzchołka
$x=p=\frac{-b}{2a}=\frac{8}{2}=4$
4. Wyznaczenie wartości y
$y=12-x=12-4=8$
5. Wyznaczenie wartości wyrażenia
$2*4^2 + 8^2 = 32 +64 = 96$
Przykład 2.
Różnica dwóch liczb $x$ i $y$ jest równa $8$ oraz $x > y$. Wyrażenie $W$ jest sumą podwojonej liczby $y$ oraz potrojonego kwadratu liczby $x$ zmniejszonej o jeden. Wyznacz $x$ oraz $y$, dla których wartość wyrażenia $W$ jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą wartość.
Boisko ma kształt prostokąta o wymiarach 100 m $\times$ 60 m.
Chcemy wydzielić z niego prostokątny plac zabaw, przy czym dwa jego boki mają leżeć na bokach boiska, a dwa pozostałe boki mają być równoległe do nich i przesunięte do środka.
Wyznacz wymiary placu, aby jego pole było największe, jeśli suma odsunięć od boków wynosi 20 m. Oblicz to pole.
1. Zmienne
- Niech $x$ oznacza odsunięcie wzdłuż dłuższego boku (zmniejsza ono wymiar $100$ m). - Niech $y$ oznacza odsunięcie wzdłuż krótszego boku (zmniejsza ono wymiar $60$ m).
2. Wtedy wymiary nowego placu zabaw to
$a = 100-x, \hspace{2em} b=60-y$
Z zadania wiemy, że suma odsunięć to 20m
$x+y=20 \quad \text{czyli} \quad y = 20- x$
3. Zapiszmy wymiary placu za pomocą jednej zmiennej x
$a = 100 - x, \quad b = 60 - (20 - x) = 40 + x$
4. Dziedzina
$x \ge 0, \quad y \ge 0 \quad \text{wtedy} \quad 20 - x \ge 0, \quad \text{czyli} \quad x \le 20$
Mamy funkcję kwadratową, której wykresem jest parabola z ramionami skierowanymi w dół (współczynnik przy $x^2$ jest ujemny).
6. Szukanie wierzchołka i analiza funkcji w dziedzinie
Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli (czyli $p$, dla którego pole byłoby największe):
$p = -\frac{b}{2a} = -\frac{60}{-2}=30$
Uwaga: Otrzymaliśmy $x = 30$, ale nasz wynik leży poza dziedziną $\langle 0; 20 \rangle$ (przecież suma przesunięć to tylko 20 m).
Co to oznacza? Funkcja kwadratowa rośnie aż do wierzchołka ($x=30$), a potem maleje. Ponieważ nasz przedział $\langle 0; 20 \rangle$ w całości leży "na lewo" od wierzchołka, funkcja w tym przedziale jest ściśle rosnąca.
Skoro funkcja ciągle rośnie, to swoją największą wartość w tym konkretnym przedziale osiągnie na jego prawym końcu.
