definicja funkcji
Funkcją f ze zbioru X w zbiór Y (f: X \rightarrow Y) nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi ze zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y.
definicja argumentu funkcji
Argumenty funkcji są to elementy dziedziny (x \in X).
definicja wartości funkcji
Wartości funkcji są to elementy zbioru Y (zbiór wartości funkcji), które zostały przyporządkowane argumentom (y \in Y).
definicja miejsca zerowego
Miejscem zerowym funkcji f: X \rightarrow Y nazywamy taki argument, dla którego f(x) = 0 (czyli gdy y=0). Jest to argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0. Geometrycznie jest to pierwsza współrzędna punktu przecięcia wykresu funkcji z osią X.
Przykład 1.
Studencki Tip od Nati
Funkcje z reguły oznaczamy małymi literami np. f, g, h.
definicja funkcji liniowej
Funkcję liniową określamy wzorem:
y=ax+b
a to współczynnik kierunkowy prostej.
b to wyraz wolny (wykres funkcji przecina oś OY w punkcie (0,b)).
- a>0 – funkcja jest rosnąca.
- a<0 – funkcja jest malejąca.
- a=0 – funkcja jest stała.
Wzór na miejsce zerowe
x_0=-\frac{b}{a}
Przykład 1. Jak wygląda funkcja liniowa?
x_0=-\frac{b}{a}=-\frac{4}{2}=-2
definicja funkcji kwadratowej
Funkcję kwadratową, inaczej nazywaną trójmianem kwadratowym, określamy wzorem:
y=ax^2+bx+c
a, b, c to współczynniki liczbowe.
a musi być różne od zera (a \neq 0).
- a>0 – ramiona paraboli skierowane do góry.
- a<0 – ramiona paraboli skierowane do dołu.
Przykład 1. Jak wygląda funkcja kwadratowa?
matura
postacie funkcji kwadratowej
1
postać ogólna
y=ax^2+bx+c
c to rzędna punktu przecięcia wykresu z osią OY (punkt ten ma współrzędne (0,c)).
2
postać kanoniczna
y=a(x-p)^2+q
p i q to współrzędne wierzchołka W=(p,q).
Z postaci kanonicznej przechodzimy do postaci ogólnej przez wymnożenie nawiasów:
3
postać iloczynowa
y=a(x-x_1)(x-x_2)
x_1 oraz x_2 to miejsca zerowe funkcji.
Jeśli funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych, to postać iloczynowa nie istnieje.
Z postaci iloczynowej przechodzimy do postaci ogólnej przez wymnożenie nawiasów:
Wzory i własności
nazwa
wzór
Przykład
wyróżnik trójmianu kwadratowego
\Delta=b^2-4ac
\Delta=5^2-4\cdot 4\cdot 1=9
miejsca zerowe
x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
x_1=\frac{-5-\sqrt{9}}{2\cdot 4}=\frac{-8}{8}=-1 x_2=\frac{-5+\sqrt{9}}{2\cdot 4}=\frac{-2}{8}=-\frac{1}{4}
wierzchołek
W=(p,q)=(\frac{-b}{2a},\frac{-\Delta}{4a})
W=(\frac{-5}{2\cdot 4},\frac{-9}{4\cdot 4})=(\frac{-5}{8},\frac{-9}{16})
postać ogólna funkcji
y=ax^2+bx+c
y=4x^2+5x+1
postać kanoniczna funkcji
y=a(x-p)^2+q
y=4(x-\frac{5}{8})^2-\frac{9}{16}
postać iloczynowa funkcji
y=a(x-x_1)(x-x_2)
y=4(x+1)(x+\frac{1}{4})
hiperbola
funkcja logarytmiczna
funkcja wykładnicza
