Ciągi - tu.MATURA

Live na discord

Liczby rzeczywiste

Sobota, 7.03.2026, 17:00

TU wspieramy Cię w marzeniach!

Czym jest ciąg liczbowy?

Ciąg liczbowy to sekwencja liczb ułożonych w danym porządku, zwykle według pewnego określonego wzoru/reguły.
Ciągi oznaczamy $a_n, b_n, c_n$ itd.

Przykład 1. Przykłady ciągów liczbowych

ciąg kolejnych liczby naturalnych: $1, 2, 3, 4, 5, ...$

ciąg liczb parzystych dodatnich: $2, 4, 6, 8, 10, ...$

ciąg liczb nieparzystych dodatnich: $1, 3, 5, 7, 9, 11, ...$

ciąg stały: $ 5, 5, 5, 5, ...$

ciąg arytmetyczny: $2, 4, 6, 8, 10, ...$

ciąg geometryczny: $3, 6, 12, 24, 48, ...$

Widzimy, że dla każdego ciągu jest pewna reguła

Czym jest monotoniczność ciągu?

Ciąg jest monoticznie:

rosnący, jeśli każdy kolejny element jest większy od poprzedniego

malejący, jeśli każdy kolejny element jest mniejszy od poprzedniego

stały, jeśli każdy kolejny element jest równy poprzedniemu

Dowolny ciąg:

Ciąg rosnący: $a_{n+1} > a_n$

Ciąg malejący: $a_{n+1} < a_n$

Ciąg stały: $a_{n+1} = a_n$

Ciąg arytmetyczny:

Ciąg rosnący: $r > 0$

Ciąg malejący: $r < 0$

Ciąg stały: $r = 0$

Ciąg geometryczny:

Ciąg rosnący: $a_1 > 0, q > 1$
lub $a_1 < 0, 0 < q < 1$

Ciąg malejący: $a_1 > 0$ i $0 < q < 1$
lub $a_1 \lt 0$ i $q \gt 1$

Ciąg stały: $q = 1$

Rodzaj ciągu

Ciąg rosnący

Ciąg malejący

Ciąg stały

Dowolny ciąg

$$ a_{n+1} > a_n$$

$$ a_{n+1} < a_n$$

$$ a_{n+1} = a_n$$

Ciąg arytmetyczny

$$ r > 0$$

$$ r < 0$$

$$ r = 0$$

Ciąg geometryczny

Zależy od q i $a_1$

$a_1 > 0$, $q > 1$
$a_1 < 0$, $0 < q < 1$

$a_1 > 0$, $0 < q < 1$
$a_1 \lt 0$, $q \gt 1$

$$ q = 1 $$

Ciągi

Wzory i własności

nazwa

wzór

Przykład

Ciąg arytmetyczny

wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

$$a_n = a_1 + (n - 1)^r$$

$a_3 = 2 + (3 - 1) \cdot 5 = 12$

wzór na sumę N początkowych wyrazów ciągu:

$$S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)r}{2} \cdot n$$

$$S_3 = \frac{2 \cdot 2 + (3 - 1)\cdot 5}{2} \cdot 3 = 21$$

Ciąg geometryczny

iloraz ciągu:

$$q = \frac{a_{n+1}}{a_n}$$

$$ 6 = \frac{432}{72} $$

wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:

$$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$

$$a_3 = 2 \cdot 6^{3-1} = 2 \cdot 36 = 72$$

wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:

$$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$$

$$S_3 = 2 \cdot \frac{1 - 6^3}{1 - 6} = 86$$

suma wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego

$$S = \frac{a_1}{1-q}$$ pamiętaj, że $\lvert q \rvert $musi być$ < 1$

$$S = \frac{3}{1-\frac{1}{2}} = 6$$

Czym jest ciąg arytmetyczny?

Ciąg arytmetyczny to taki ciąg, w którym każdy kolejny wyraz jest większy lub mniejszy o stałą wartość nazywaną r (różnica ciągu). Ciąg liczbowy, w którym każdy kolejny wyraz różni się od poprzedniego o r.

Czyli:
$$a_{n+1} = a_n + r$$

Każdy element ciągu arytmetycznego można wyrazić za pomocą wzoru:
$$a_n = a_1 + (n - 1)\cdot r$$

Przykład 1. Zastosowanie wzoru na n-ty element ciągu arytmetycznego.

Pierwszy wyraz ciągu.

$a_1 = 2$

Do pierwszego wyrazu ciągu dodajemy 3 (nasza różnica).

$a_2 = 2 + 3 = 5$

Z każdym kolejnym wyrazem zwiększamy o 3.

$a_3 = 5 + 3 = 8$

Szósty wyraz ciągu, należy do a1 dodać pięć trójek (r).

$a_6 = 2 + (6 - 1) \cdot 3 = 17$

Przykład 2. Jak wygląda ciąg arytmetyczny?

Dany mamy ciąg arytmetyczny:

$a_1 = 2, a_2 = 5, a_3 = 8$

Wyliczmy różnicę ciągu:

$a_{n+1} = a_n + r \implies r = a_{n+1} - a_n$

$$a_{n+1} = a_n + r$$ $$ \downarrow $$ $$r = a_{n+1} - a_n$$

Podstawmy liczby do wzoru:

$$r = a_3 - a_2 = 8 - 5 = 3 \land r = a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3 $$

$$r = a_3 - a_2 = 8 - 5 = 3 $$ $$ \land $$ $$ r = a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3 $$

Widzimy, że niezależnie czy odejmiemy od siebie wyraz drugi od trzeciego czy wyraz pierwszy od drugiego, otrzymujemy taki sam wynik.

Wyliczmy 13-ty wyraz ciągu: $ a_{13} = 2 + (13 -1 ) \cdot 3 = 38$

Przykład 3. Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, gdzie $a_1 = 2$.

Idziemy do tablicy maturalnej i korzystamy z wzoru na sumę:

$S_n = \frac{2a_1 (n-1)r}{2} \cdot n$

$a_1$ i r mamy dane, a n to 10 (szukamy dziesięciu początkowych wyrazów)

$S_{10} = \frac{2 \cdot 2 \cdot (10 - 1) \cdot 3}{2} \cdot 10 = \frac{31}{2} \cdot 10 = 155$

$S_{10} = \frac{2 \cdot 2 \cdot (10 - 1) \cdot 3}{2} \cdot 10 =$

$\frac{31}{2} \cdot 10 = 155$

Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu arytmetycznego wynosi 155.

Czym jest ciąg geometryczny?

Ciąg geometryczny to taki ciąg, w którym każdy kolejny element jest uzyskiwany przez pomnożenie poprzedniego elementu przez tę samą liczbę zwaną q (iloraz ciągu). Ciąg liczbowy, w którym każdy kolejny wyraz różni się od poprzedniego q razy.

Czyli:
$$a_{n+1} = a_n \cdot q$$

Każdy element ciągu geometrycznego można wyrazić za pomocą wzoru:
$$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$

Przykład 1. Zastosowanie wzoru na n-ty element ciągu geometrycznego.

Pierwszy wyraz ciągu.

$a_1 = 2$

Pierwszy wyraz ciągu wymnażamy przez 3 (nasz iloraz)

$a_2 = 2 \cdot 3 = 6$

Każdy kolejny wyraz mnożymy przez 3

$a_3 = 6 \cdot 3 = 18$

Wykorzystujemy wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego

$a_6 = 2 \cdot 3^{6-1} = 486$