Czym zajmuje się stereometria
Stereometria to dział geometrii zajmujący się badaniem figur przestrzennych (trójwymiarowych), takich jak bryły i ich własności.
Kilka podstawowych definicji
Wielokąt – figura zamknięta utworzona przez odcinki, leżąca w jednej płaszczyźnie. Wielokąt foremny to wielokąt, który ma wszystkie boki i kąty równe np. sześciokąt
Bryła – trójwymiarowa figura geometryczna ograniczona powierzchniami. np. graniastosłup o podstawie sześciokąta
Objętość – miara przestrzeni zajmowanej przez bryłę. Czyli np. ile wody zmieści się w tej butelce. Podajemy w jednostkach sześciennych
Pole powierzchni – suma pól wszystkich ścian danej bryły. Czyli np. ile potrzebujemy tapety aby okleić wszystkie ściany. Podajemy w jednostkach kwadratowych
czym są graniastosłupy
Graniastosłup – bryła mająca dwie równoległe, przystające podstawy i prostokątne ściany boczne.
Graniastosłup prosty - to graniastosłup, którego ściany boczne są prostopadłe do podstawy.
Graniastosłup pochyły - to graniastosłup ,którego ściany boczne nie są prostopadłe do podstawy i są równoległobokami.
Mamy też szczególne graniastosłupy:
Prostopadłościan
- Graniastosłup czworokątny
- 6 prostokątnych ścian
- Pole powierzchni: $P=2(ab+bc+ac)$
- Objętość: $V=a*b*c$
- Przekątne ścian zależą od wymiarów danej ściany
- Przekątna bryły: $D = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$
Sześcian
- Graniastosłup prawidłowy czworokątny
- 6 identycznych kwadratowych ścian.
12 równych krawędzi.
- Pole powierzchni: $P=6a^2$
- Objętość: $V=a^3$
- przekątna ściany bocznej $d=a\sqrt{2}$
- przekątna bryły $a\sqrt{3}$
Przykład 1. Dany jest graniastosłup prawidłowy, w podstawie ma sześcian. Pole jednej podstawy wynosi $24\sqrt{3}$. A wysokość graniastosłupa wynosi 6. Oblicz pole całkowite graniastosłupa oraz objętość.
1. Wyliczamy ile wynosi bok w podstawie.
Pole sześciokąta możemy potraktować jako 6 trójkątów równobocznych stąd wzór to
$6*\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ i przyrównujemy go do $24\sqrt{3}$.
$6*\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 24\sqrt{3}$
$\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$
$a^2\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$
$a=4$
2. Znając pole podstawy oraz wysokość obliczamy objętość.
$V = 24\sqrt{3}*6=144\sqrt{3}$
3. Obliczamy pole boczne a następnie pole całkowite.
$Pb = 6*a*H=6*4*6=144$
$Pc=2*24\sqrt{3}+144=48\sqrt{3}+144$
Przykład 2. Dany jest graniastosłup prawidłowy, w podstawie ma sześcian. Pole jednej podstawy wynosi $6\sqrt{3}$. A wysokość graniastosłupa wynosi 8. Wyznacz sin kąta przedstawionego na rysunku
Aby obliczyć sin kąta potrzebujemy miarę boku H oraz y. H mamy podane i wynosi 10 a y możemy obliczyć z twierdzenia pitagorasa kiedy obliczymy bok x. Do obliczenia boku x wykorzystamy informacje o polu podstawy.
1. Obliczamy miarę a
$6*\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 6\sqrt{3}$
$\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$
$a^2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$
$a=2$
2. Zauważamy, że bok x = 2a ze względu na to, że sześciokąt foremny można podzielić na 6 trójkątów równowamiennych.
$x=2a=4$
3. Mając bok H i x obliczamy miarę kąta y
$8^2+4^2=y^2 \qquad 64+16=80 \qquad y=4\sqrt{5} $
4. Teraz możemy obliczyć sin kąta zaznaczonego na rysunku
$\sin{\alpha}=\frac{H}{y}=\frac{8}{4\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$
Czym są ostrosłupy
Ostrosłup - wielościan, którego podstawa jest wielokątem, a wszystkie ściany boczne to trójkąty mające wspólny wierzchołek.
Ostrosłup prawidłowy czworokątny
-
Podstawa jest kwadratem
- Wysokość ostrosłupa pada na środek podstawy
- Wszystkie krawędzie boczne są
równej długości.
- Objętość: $\frac{1}{3}*H*\frac{a^2}{3}$
-
Pole całkowite: $a^2+4*a*h$
Ostrosłup prawidłowy trójkątny
- Podstawa jest trójkątem równobocznym
- Wysokość ostrosłupa pada na środek podstawy
- Wszystkie krawędzie boczne są równej długości.
- Objętość: $\frac{1}{3}*H*\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
- Pole całkowite: $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+3*a*h$
Czworościan foremny
- szczególny ostrosłup prawidłowy
- Każda ściana boczna jest trójkątem równobocznym
Podstawa jest wielokątem foremnym
- Wszystkie krawędzie są jednakowej długości
- Objętość:$\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$
- Pole całkowite: $a^2\sqrt{3}$
Przykład 1. Dany jest ostrosłup prawidłowym czworokątnym krawędź boczna ma długość 5, a krawędź podstawy 6 cm. Wówczas cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy jest równy:
1. Zaznaczamy kąt, którego tangens musimy obliczyć
2. Znamy już długość odcinka b- jest to połowa boku a
$b=\frac{1}{2}*a=\frac{1}{2}*6=3$
3. Aby obliczyć wysokość ściany bocznej skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa
$5^2=3^2+h^2$
$25-9=16$
$h=4$
3. Liczymy cosinus
$\cos{\alpha}=\frac{b}{h}=\frac{3}{4}$
Przykład 2. Ściana boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60∘. Krawędź boczna ma długość 6. Oblicz objętość ostrosłupa.
1. Zaznaczamy kąt α =60∘
2. Do obliczenia objętości potrzebujemy miarę H i pole podstawy. To drugie możemy obliczyć wiedząc, że a = 6
$Pp=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
$Pp=9\sqrt{3}$
3. H możemy obliczyć wykorzystując trójkąt 30,60,90
4. Obliczamy objętość
$V=\frac{1}{3}*Pp*H$
$V=\frac{1}{3}*9\sqrt{3}*3=9\sqrt{3}$
Czym jest walec
Walec – bryła geometryczna mająca dwie identyczne, równoległe podstawy w kształcie koła oraz powierzchnię boczną w kształcie prostokąta zwiniętego wokół osi walca.
Własności:
- Ma dwie równoległe podstawy w kształcie koła.
- Oś walca to odcinek łączący środki obu podstaw.
- Objętość: $V=\pi*r^2*h$
- Pole podstawy: $Pp=\pi*r^2$
- Pole powierzchni całkowitej: $P=2\pi r^2+2\pi*r*h$
Przykład 1. Podstawa walca ma średnicę 3. Wysokość jest równa 10. Oblicz objętość walca.
1. Podstawiamy dane do wzoru
$V=\pi*r^2*h$
$V=\pi*9*10$
$V=90\pi$
Odpowiedź: 90π
Czym jest stożek
Stożek – bryła mająca podstawę w kształcie koła i wierzchołek, do którego zbiegają się wszystkie punkty powierzchni bocznej.
Własności:
- Ma podstawę w kształcie koła i wierzchołek, do którego zbiegają się wszystkie punkty powierzchni bocznej.
- Powierzchnia boczna jest wycinkiem koła.
- Oś stożka to odcinek łączący środek podstawy z wierzchołkiem.
- Objętość:$V=\frac{1}{3}\pi*r^2*h$
- Pole podstawy: $Pp=\pi*r^2$
- Pole całkowite: $P=\pi r^2+2\pi*r*l$
Przykład 2.Trójkąt prostokątny równoramienny o przyprostokątnych 2 obracamy tworząc stożek. Oblicz pole całkowite tego stożka.
1. wyznaczamy długość l z trójkąta 45,45,90
2. Obliczamy pole całkowite ze wzoru
$Pc=\pi*r^2+\pi*r*l$
$Pc=\pi*2+\pi*2*2\sqrt{2}$
$Pc=2\pi+4\sqrt{2}\pi$
Studencki Tip od Emi
Pamiętaj średnica to dwa promienie
Czym jest kula
Kula – bryła powstała przez obrót koła wokół jego średnicy, w której wszystkie punkty na powierzchni są równo oddalone od środka.
Własności:
-
Wszystkie punkty na powierzchni są równo oddalone od środka
- Środek kuli to punkt, z którego wszystkie promienie są równe.
- Nie ma krawędzi ani wierzchołków.
- Objętość: $V = \frac{4}{3}*\pi*r^3$
- Pole powierzchni: $P=4*\pi*r^2$
Przykład 3. Dana jest poniższa figura powstała z połączenia półkul kuli i walca. Oblicz objętość tej bryły, wiedząc że promień jest równy 3. A stosunek wysokości walca do promienia jest równy 3:1.
