Czym są potęgi i do czego się przydają?
- Potęgowanie to działanie matematyczne oznaczające wielokrotne mnożenie elementu przez siebie
- Wprowadzone po to, aby ułatwić i skrócić zapis wielokrotnego mnożenia (choć maturzystom spędza czasem sen z powiek)
Przykład 1. Po co mnożyć 2 pięciokrotnie, jeśli możemy po prostu napisać:
$$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 $$
$$1 \quad 2 \quad 3 \quad 4 \quad 5 $$
Mnożymy 2 pięciokrotnie przez siebie
$$2^5$$
Czyli podnosimy 2 do potęgi 5
$$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$$
Obydwa zapisy znaczą to samo, ale jeden jest krótszy;)
Co to są pierwiastki?
- Pierwiastkowanie to działanie odwrotne do potęgowania. Proste prawda?
- Jaka liczba podniesiona do potęgi równej stopniu pierwiastka da nam liczbę spod pierwiastka?
- Wynik pierwiastka parzystego stopnia, jak i liczba pod pierwiastkiem, jest zawsze liczbą dodatnią
Przykład 2. Jaka liczba podniesiona do kwadratu da nam 16? Dowiedzmy się!
$$\sqrt{16} =$$
Pierwiastek bez liczby to pierwiastek II stopnia
$$4^2 = 16$$
4^2 daje 16, więc właśnie 4 to odpowiedź!
$$\sqrt{16} = 4$$
Studencki Tip od Nati
Pamiętaj, nie ma co uczyć się definicji na pamięć. Ważne, żeby rozumieć i umieć zastosować!
Czas poznać wzory!
potęgi
Wzory i własności
nazwa
wzór
Przykład
mnożenie potęg o tych samych podstawach
$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$
$$2^7 \cdot 2^4 = 2^{7+4}$$
mnożenie potęg o różnych podstawach
$$a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^{n}$$
$$2^4 \cdot 9^4 = (2 \cdot 9)^4$$
dzielenie potęg o tych samych podstawach
$$\frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}$$
$$\frac{2^7}{2^4}= 2^{7-4}$$
dzielenie potęg o różnych podstawach
$$\frac{a^n}{b^n}= (\frac{a}{b})^n$$
$$\frac{2^4}{9^4}= (\frac{2}{9})^4$$
potęga potęgi
$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$
$$(2^7)^4 = 2^{7 \cdot 4}$$
zamiana ułamka na potęgę
$$a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}$$
$$2^{-4} = \frac{1}{2^{4}}$$
zamiana ułamka niewymiernego
$$a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$$
$$2^{-\frac{7}{4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{2^7}}$$
zamiana pierwiastka na potęgę
$$\frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}$$
$$\frac{2^7}{2^4}= 2^{7-4}$$
Inne
$$a^1 = a$$
$$a^0 = 1$$
$$0^n = 0$$
pierwia stki
Wzory i własności
nazwa
wzór
Przykład
mnożenie pierwiastków jednego stopnia
$$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$$
$$\sqrt{2} \cdot \sqrt{9} = \sqrt{2 \cdot 9}$$
mnożenie pierwiastków o tej samej podstawie
$$\sqrt[m]{a} \cdot \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{m}} \cdot a^{\frac{1}{n}}$$
$$\sqrt[7]{2} \cdot \sqrt[4]{2} = 2^{\frac{1}{7}} \cdot 2^{\frac{1}{4}}=2^{\frac{1}{7} + \frac{1}{4}}$$
pierwiastek i potęga jednego stopnia
$$(\sqrt[n]{a})^n = a$$
$$(\sqrt[4]{2})^4 = 2$$
dzielenie pierwiastków jednego stopnia
$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$$
$$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}} = \sqrt{\frac{2}{9}}$$
pierwiastek drugiego stopnia z kwadratu
$$\sqrt{a^2} = |a|$$
$$\sqrt{2^2} = |2|=2$$
Studencki Tip od Oli
Wzorki wyobraź sobie jako ramki na zdjęcia. Zamiast zdjęć wkładasz do nich odpowiednie liczby:)
Jak poradzić sobie z potęgami i pierwiastkami na maturze?
$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$
Wizualne rozpisanie wzoru pomaga niektórym go lepiej zrozumieć.
Zamiast cokolwiek liczyć, zmieniamy ułożenie “ramek” i otrzymujemy wynik.
Potrafisz rozpoznać, jakie wzory kryją się pod pozostałymi ramkami?
matura
Tipy i strategie maturalne
1
korzystaj z karty wzorów
- Patrzysz na zadanie i nawet nie wiesz jak zacząć? Pierwsza zasada: przeanalizuj wzory na spokojnie, a znajdziesz odpowiedź
- Jeśli masz trudność w wizualizacji wzorów na literkach, zapisz przykłady liczbowe oraz nazwy w swojej karcie wzorów i ucz się z niej korzystać
2
cztery przykazania kombinowania
1. Większość zadań opiera się na potęgach liczb 2, 3, i 5
$$2^0 \quad 2^1 \quad 2^2 \quad 2^3 \quad 2^4 \quad 2^5$$
$$1 \quad 2 \quad 4 \quad 8 \quad 16\quad 32$$
- Wypisz je i miej pod ręką
- Korzystaj z nich przy pierwiastkach, zamianie liczb na potęgi i odwrotnie
2. każdy pierwiastek da się zamienić na potęgę
$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^n}$$
- Pierwiastki często stresują
- Nie ma ich w karcie wzorów
- Wzór na zamianę na potęgę jest w karcie;)
3. ułamków też da się pozbyć
$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$
$$\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}$$
- Również ułamków możemy się pozbyć odpowiednimi wzorami z karty
4. dużą liczbę rozbij na wielokrotny iloczyn
szukam wielokrotnych iloczynów, np. liczb 2 i 5:
dostaję potęgi liczb 2 i 5:
$$200 = 4 \cdot 50$$
$$200 = 2^2 \cdot 2 \cdot 25$$
$$200 = 2^3 \cdot 5 \cdot 5$$
$$200 = 2^3 \cdot 5^2$$
- Przydatne, gdy nie jesteś w stanie wyciągnąć pierwiastka z liczby
- Zrobisz to zwykłym dzieleniem lub rozkładem na czynniki pierwsze
3
Nie bój się zadań!
- Próbuj, kombinuj i pamiętaj – PRAKTYKA CZYNI MISTRZA!
- Korzystaj przede wszystkim z karty wzorów
Czym są logarytmy?
- Logarytm to wykładnik potęgi (potęga), do której należy podnieść podstawę a, aby otrzymać liczbę logarytmowaną b
założenia
$$a > 0$$
$$a \neq 1$$
$$b > 0$$
a
podstawa logarytmu
Do jakiej potęgi należy ją podnieść...
$$\log_a{b} = c$$
b
liczba logarytmowana
...aby otrzymać tę liczbę?
c
wykładnik potęgi
Do tej potęgi należy podnieść a, by mieć b
To jak zamienić logarytm na potęgowanie?
$$\log_a{b} = c$$
$$a^c = b$$
Przykład. Do jakiej potęgi należy podnieść 4, aby otrzymać 16?
$$\log_4{16} =$$
Zamieńmy logarytm na potęgę - tak łatwiej dojść do rozwiązania
$$4^2 = 16$$
4^2 daje 16, więc właśnie 2 to odpowiedź!
$$\log_4{16} = 2$$
Studencki Tip od Nati
Nie bój się logarytmów, staraj się wyobrażać je jako inny zapis potęgowania!
Czas poznać wzory!
loga
rytmy
Wzory i własności
nazwa
wzór
Przykład
dodawanie logarytmów - te same podstawy!
$$\log_a{b} + log_a{c} = log_a{b \cdot c}$$
$$\log_5{2} + log_5{8} = log_5{2 \cdot 8}$$
odejmowanie logarytmów - te same podstawy!
$$\log_a{b} - log_a{b} = log_a{b \div c}$$
$$\log_5{2} - log_5{8} = log_5{2 \div 8}$$
mnożenie logarytmu przez liczbę
$$p \cdot \log_a{b} = \log_a{b}^p$$
$$3 \cdot \log_5{2} = \log_5{2}^3$$
zamiana podstawy logarytmu
$$\log_b{c} = \frac{\log_a{c}}{\log_a{b}}$$
$$\log_2{8} = \frac{\log_5{8}}{\log_5{2}}$$
inne
$$a^{log_a{b}} = b$$
$$\log_5{2} + log_5{8} = log_5{2 \cdot 8}$$
$$\log_a{1} = 0$$
$$\log_5{1} = 0$$
$$\log_a{a} = 1$$
$$\log_5{5} = 1$$
Studencki Tip od Nati
Zwracaj uwagę na znaki! Często myli nam się przy logarytmach + oraz * jeśli chodzi o wzory. Wzory z kategorii Inne naucz się na pamięć - nie ma ich na karcie maturalnej (oprócz pierwszego)!
Czym jest wartość bezwzględna?
- Wartość bezwzględna (moduł liczby) dla dowolnej liczby rzeczywistej to:
$$|x| = \begin{cases} x & \text{ dla } x \ge 0 \\ -x & \text{ dla } x < 0\end{cases}$$
$$|2| = 2 \text{ bo } 2 \ge 0$$
$$|-5| = 5 \text{ bo } 5 < 0$$
Czyli co to tak właściwie jest?
wartość bezwzględna jako odległość na osi
- Jest to odległość liczby x od 0 na osi liczbowej
Przykład. Liczymy wartość bezwzględną z 5.
Odległość na osi od -5 do 0 oraz od 0 do 5 w obu przypadkach jest równa 5.
$$|-5| = 5$$
$$|5| = 5$$
Studencki Tip od Nati
Odległość (na osi liczbowej) nie może być ujemna, dlatego wartość bezwzględna zawsze jest liczbą nieujemną!
Czas na kilka strategii maturalnych
matura
Tipy i strategie maturalne
1
zawsze rozpatruj dwa przypadki
- Od zera zawsze możemy iść tą samą odległość w dwie strony – na plus i na minus
- W karcie wzorów jest podpowiedź
2
zacznij od analizy rysunku z zadania
1. liczba odejmowana jest środkiem przedziału
$$|x - 5| < 2$$
- Aby dojść do rozwiązania idziemy na prawo i na lewo od 5 o 2 jednostki
- Jeśli mielibyśmy |x+5|, to środkiem by była liczba -5 (zawsze przeciwny znak)
2. odległość od środka przedziału do krańca to prawa strona
$$|x - 5| < 2$$
- Aby dojść do rozwiązania idziemy i na prawo i na lewo od 5 o 2 jednostki
3. zamknięty odcinek - część wspólna - znak mniejszości <
x jest większe od -2
$$\wedge$$
x jest mniejsze od 7
- Zapisujemy spójnik “i”
- Czytaj to jako “x jest większe od 3 I mniejsze od 7”
- Obydwa warunki muszą byc jednocześnie – stąd słowo I
4. otwarte odcinki - suma zbiorów - znak większości >
x może być mniejsze od -2
$$\vee$$
x może być większe od 5
- Zapisujemy spójnik “lub”
- Czytaj to jako “x może być mniejsze od -2 LUB większe od 5”
- Obydwa warunki nie są możliwe jednocześnie – stąd słowo LUB
Czym są przedziały liczbowe?
- Przedział liczbowy to zbiór liczb rzeczywistych, które spełniają pewne określone w poleceniu warunki
- Wyróżniamy przedziały: otwarte, zamknięte, nieskończone
- Przedział może też być np. lewostronnie zamknięty i prawostronnie otwarty
przedział otwarty
liczby na brzegach nie należą do przedziału
$$x \in (-5, 5)$$
to to samo co
$$-5 < x < 5$$
Zielony to obszar przedziału (pamiętaj:-5 i 5 nie należą do przedziału)
niezamalowane kółka na osi oznaczają, że liczby nie wliczają się do przedziału
przedział zamknięty
liczby na brzegach należą do przedziału
$$x \in $$
to to samo co
$$-5 \leq x \leq 5$$
Niebieski to obszar przedziału (pamiętaj -5 i 5 należą do przedziału)
zamalowane kółka na osi oznaczają, że liczby wliczają się do przedziału
przedział nieograniczony (nieskończony)
w przedziale pojawia się nieskończoność, np.:
$$ x \in (-\inf, \inf)$$
$$ x \in <-6, \inf)$$
$$ x \in <-\inf, 24)$$
Czym są zbiory?
- Zbiór to pojęcie pierwotne, czyli takie, którego się nie definiuje
- Zbiory oznaczamy dużymi literami np. A ,B ,C, D,…
- Elementy zbioru oznaczamy małymi literami a, b, c, d,…
suma zbioru a i b
wszystkie elementy obu zbiorów
$$A \cup B = { x : x\in A \vee x \in B}$$
Różnica zbioru A i B
elementy należące do zbioru A i nienależące do zbioru B
$$A \setminus B = { x : x\in A \wedge x \notin B}$$
iloczyn zbioru A i B
część wspólna; elementy należące jednocześnie do obu zbiorów
$$A \cap B = { x : x\in A \wedge x \in B}$$
liczby rzeczywiste - definicja
- Wszystkie liczby, nadrzędny zbiór nad pozostałymi zbiorami
- Każda liczba, która przychodzi Ci do głowy, to liczba rzeczywista:)
