Czym zajmuje się kombinatoryka?
Kombinatoryka to dział matematyki zajmujący się liczeniem i analizą różnych sposobów wyboru i układu elementów w zbiorach skończonych. Obejmuje zagadnienia takie jak permutacje, kombinacje i wariacje, które pozwalają określić liczbę możliwych konfiguracji przy różnych warunkach.
kilka podstawowych definicji
Silnia (n!) to iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do n
Permutacja- to sposób ustawienia wszystkich elementów w określonej kolejności.
Wariacja z powtórzeniami- to uporządkowany wybór k elementów ze zbioru n, w którym można wybierać ten sam element wielokrotnie.
Wariacja bez powtórzeń- to uporządkowany wybór k elementów ze zbioru n, gdzie każdy element można wybrać tylko raz.
reguła mnożenia
Reguła mnożenia pomaga obliczyć ilość możliwych wyników. Najlepiej wyjaśnić to na prostym przykładzie.
Przykład 1.
Wyobraź sobie, że 3 razy rzucamy kostką, ile jest możliwych wyników jakie wypadną.
Wyobraźmy sobie trzy osoby: Anię, Basię i Kasię. Każda reprezentuje jeden rzut monetą. Każda z nich może wyrzucić orła albo reszkę. Reguła mnożenia polega na tym pomiędzy “rundami” dajemy mnożenier
$\hspace{5em} 2 \hspace{4em} * \hspace{4em} 2 \hspace{4em} * \hspace{4em} 2 \hspace{2em} = \hspace{2em} 8$
$ 2 \hspace{1em} * \hspace{1em} 2 \hspace{1em} * \hspace{1em} 2 \hspace{1em} = \hspace{1em} 8$
permutacja i silnia
Przykład 3.
Wyobraź rząd ludzi ustawionych w kolejkę. Na ile sposobów uczniowie ci mogą się ustawić.
1
2
3
3
*
2
*
1
= 3! = 6
Na początku mamy do wyboru osobę a,b lub c. Mamy więc trzy możliwości
Jedna osoba już została wybrana teraz wybór pozostaje spośród dwóch osób.
Została jedna osoba więc nasz wybór ograniczony jest to tej jednej
= 3! = 6
Czyli jest 6 możliwych ustawień
Tym właśnie jest Permutacja jest to możliwości ustawień elementów jakiegoś zbioru. Oznaczamy ją jako n! gdzie n to jest liczebność tego zbioru.
Przy okazji już wiesz czym jest silnia polega ona na mnożeniu kolejnych liczb naturalnych od 1 do n. np.
4! = 4*3*2*1
5! = 5*4*3*2*1
10! = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1
Przykład 4.
Na ile sposobów można uszeregować cyfry od 1 do 3 oraz litery od a ,b Tak aby litery rozdzielały cyfry. A żadna cyfra nie może być obok siebie.
Możliwości:
3
1,2,3
*
2
a,b
*
2
1,2
lub
2,3
lub
1,3
*
1
a
lub
b
*
1
1
lub
2
lub 3
=12
Wariacje z powtórzeniami i bez Wariacje bez powtórzeń
Przed chwilą nie roważaliśmy możliwości powtarzania się elementów. Teraz jednak może się tak stać.
Przykład 7.
Ile jest liczb parzystych czterocyfrowych liczb dodatnich.
9
1,2,3,
4,5,6,
7,8,9
*
10
0,1,2,
3,4,5,
6,7,8,
9
*
10
0,1,2,
3,4,5,
6,7,8,
9
*
5
0,2,4,
6,8
=45000
Przykład 8.
Ile jest możliwości ustawienia hasła które zawiera 5 znaków z czego może składać się jedynie z cyfr oraz nie mogą się powtarzać
10
0,1,2,
3,4,5,
6,7,8,
9
*
9
*
8
*
7
*
6
=30240
Przykład 7 przedstawia wariacje z powtórzeniami a przykład 8 wariacje bez powtórzeń.
Czym zajmuje się Rachunek prawdopodobieństwa?
Rachunek prawdopodobieństwa to dział matematyki, który zajmuje się analizą zdarzeń losowych. Pomaga przewidywać szanse wystąpienia różnych sytuacji, np. wygranej na loterii czy wylosowania konkretnej karty z talii. Kluczowe pojęcia to zdarzenie losowe, prawdopodobieństwo
Kilka podstawowych definicji
Doświadczenie losowe- to proces, którego wynik jest nieprzewidywalny, ale wszystkie możliwe wyniki są znane (np. rzut monetą, rzut kostką).
Zdarzenie elementarne- to możliwy wynik doświadczenia losowego, np. przy rzucie monetą może to być „orzeł” lub „reszka”.
Zdarzenie losowe(A)- to dowolny zbiór zdarzeń elementarnych, który może wystąpić w wyniku doświadczenia losowego (np. wyrzucenie liczby parzystej na kostce).
Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych(Ω)- to zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia losowego, np. dla rzutu kostką: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Czym jest prawdopodobieństwo
Jest to miara tego, jak bardzo prawdopodobne jest wystąpienie danego zdarzenia losowego. Można je wyrazić jako liczbę od 0 do 1, gdzie:
- 0 oznacza, że zdarzenie na pewno się nie wydarzy,
- 1 oznacza, że zdarzenie na pewno się wydarzy
Przedstawiamy to jako ułamek gdzie:
$\text{P(A)} = \frac{\text{A}}{\Omega} \,\frac{\text{Liczba sposobów aby coś się wydarzyło }}{\text{Liczba wszystkich możliwych wyników}}$
Przykład 1.
Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia parzystej liczby oczek przy rzucie kostką.
1. Wypisujemy zawartość zbioru A i zawartość zbioru Ω
A = {2,4,6} → kiedy liczba oczek będzie parzysta
|A| = 3 → moc zbioru czyli liczba jego elementów
Ω = {1,2,3,4,5,6} → wszystkie możliwości
|Ω| = 6 → moc zbioru
2. Podstawiamy liczby do ułamka.
P(A) = $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
Odp. Prawdopodobieństwo wyrzucenia parzystej liczby oczek wynosi $\frac{1}{2}$
Przykład 3.
Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania trzech takich samych liczb przy trzykrotnym rzucie kostką.
1. Wypisujemy zawartość zbioru A i zawartość zbioru Ω
A = {(1,1,1), (2,2,2), (3,3,3),(4,4,4),(5,5,5),(6,6,6)}
|A| = 6
Ω = 6*6*6 → wykorzystaj wiedzę z tematu kombinatoryka
|Ω| = 216 → moc zbioru
2. Podstawiamy liczby do ułamka.
P(A) = $\frac{6}{216} = \frac{1}{36}$
Odp. Prawdopodobieństwo wyrzucenia parzystej liczby oczek wynosi $\frac{1}{36}$
Przykład 5.
W pudełku znajduje się 3 białe, 5 zielonych i 2 czerwone kulki. Losujesz 2 kulki ze zwracaniem. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujesz najpierw jedną białą i później jedną zieloną kulkę?
1. Prawdopodobieństwo wylosowania białej kulki
|A| = 3
|Ω| = 10
P(A1) =$\frac {3}{10}$
2. Prawdopodobieństwo wylosowania zielonej kulki
|A| = 5
|Ω| = 10
P(A2) =$\frac {5}{10}$
3. Mnożymy prawdopodobieństwa
P(A1)*P(A2) =$\frac {3}{10}*\frac{5}{10} = \frac{15}{100}=\frac{3}{20}$
Czym zajmuje się statystyka?
Statystyka to dział matematyki zajmujący się analizą danych. Na maturze obejmuje podstawowe pojęcia, takie jak średnia, mediana, dominanta
podstawowe definicje
ŚREDNIA ARYTMETYCZNA
- to suma wszystkich liczb podzielona przez ich liczbę
$\bar{a}=\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n}$
MEDIANA
- to środkowa wartość w zbiorze liczb, gdy są one uporządkowane od najmniejszej do największej.
- Jeśli jest ich nieparzysta liczba, mediana to środkowa liczba.
- Jeśli jest ich parzysta liczba, mediana to średnia dwóch środkowych liczb
ŚREDNIA WAŻONA
- to średnia, w której różnym liczbom przypisuje się różne wagi.
- Zamiast traktować wszystkie liczby równo, większą wagę mają liczby ważniejsze.
$\bar{s}=\frac{w_1*a_1 + w_2*a_2 + ... + w_n*a_n}{w_1+w_2+...+w_n}$
DOMINANTA
- to liczba, która występuje najczęściej w zbiorze.
- Może być jedna, kilka lub żadna, jeśli żadna liczba się nie powtarza.