Czym zajmuje się stereometria
Stereometria to dział geometrii zajmujący się badaniem figur przestrzennych (trójwymiarowych), takich jak bryły oraz ich właściwości.
Kilka podstawowych definicji
Wielokąt - figura zamknięta utworzona przez odcinki, leżąca w jednej płaszczyźnie. Wielokąt foremny to wielokąt, który ma wszystkie boki i kąty równe, np. sześciokąt foremny.
Bryła - trójwymiarowa figura geometryczna ograniczona powierzchniami, np. graniastosłup o podstawie sześciokąta
Objętość - miara przestrzeni zajmowanej przez bryłę (np. pojemność naczynia). Wyrażamy ją w jednostkach sześciennych (cm^3, m^3 itd.).
Pole powierzchni - suma pól wszystkich ścian danej bryły (np. ilość materiału potrzebna do jej pokrycia). Wyrażamy je w jednostkach kwadratowych (cm^2, m^2 itd.).
czym są graniastosłupy
Graniastosłup to wielościan posiadający dwie równoległe i przystające podstawy oraz ściany boczne będące równoległobokami.
Graniastosłup prosty - graniastosłup, którego ściany boczne są prostopadłe do podstawy.
Graniastosłup pochyły - graniastosłup, którego ściany boczne nie są prostopadłe do podstawy (są równoległobokami).
Szczególne przypadki graniastosłupów:
Prostopadłościan
- Graniastosłup czworokątny.
- 6 prostokątnych ścian.
- Pole powierzchni: P=2(ab+bc+ac).
- Objętość: V=a*b*c.
- Przekątne ścian zależą od wymiarów danej ściany.
- Przekątna bryły: D = \sqrt{a^2+b^2+c^2}.
Sześcian
- Graniastosłup prawidłowy czworokątny.
- 6 identycznych kwadratowych ścian.
12 równych krawędzi.
- Pole powierzchni: P=6a^2.
- Objętość: V=a^3.
- Przekątna ściany bocznej: d=a\sqrt{2}.
- Przekątna bryły: D=a\sqrt{3}.
Przykład 1. Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny. Pole jednej podstawy wynosi 24\sqrt{3}, a wysokość graniastosłupa H = 6. Oblicz pole całkowite oraz objętość bryły.
1. Wyznaczamy długość krawędzi podstawy (a):
Pole sześciokąta foremnego to suma pól sześciu trójkątów równobocznych. Korzystamy ze wzoru:
6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4} i przyrównujemy go do 24\sqrt{3}.
6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 24\sqrt{3}
\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}
a^2\sqrt{3} = 16\sqrt{3}
a=4
2. Znając pole podstawy oraz wysokość obliczamy objętość:
V = P_p \cdot H = 24\sqrt{3} \cdot 6 = 144\sqrt{3}
3. Obliczamy pole powierzchni bocznej (P_b) i całkowitej (P_c):
P_b = 6 \cdot a \cdot H = 6 \cdot 4 \cdot 6 = 144
P_c = 2 \cdot P_p + P_b = 2 \cdot 24\sqrt{3} + 144 = 48\sqrt{3} + 144
Przykład 2. Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny. Pole jednej podstawy wynosi 6\sqrt{3}, a wysokość graniastosłupa H = 8. Wyznacz sinus kąta zaznaczonego na rysunku.
Aby obliczyć sinus kąta \alpha, potrzebujemy długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego utworzonego przez wysokość graniastosłupa (H), przekątną x) oraz przekątną ściany/bryły (y).
1. Wyznaczamy długość krawędzi podstawy (a):
6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 6\sqrt{3}
\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}
a^2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}
a=2
2. Zauważamy, że x = 2a - wynika to z teog, że sześciokąt foremny można podzielić na 6 trójkątów równobocznych:
x=2a=4
3. Mając wysokość H i bok x obliczamy długość boku y:
8^2+4^2=y^2 \qquad 64+16=80 \qquad y=4\sqrt{5}
4. Teraz możemy obliczyć \sin kąta zaznaczonego na rysunku:
\sin{\alpha}=\frac{H}{y}=\frac{8}{4\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}
Czym są ostrosłupy
Ostrosłup - wielościan, którego podstawa jest wielokątem, a wszystkie ściany boczne to trójkąty posiadające wspólny wierzchołek.
Ostrosłup prawidłowy czworokątny:
-
Podstawa jest kwadratem.
- Wysokość ostrosłupa (H) pada na środek podstawy.
- Wszystkie krawędzie boczne są
równej długości.
- Objętość: V=\frac{1}{3}\cdot H\frac{a^2}{3}.
-
Pole całkowite: P_c=a^2+2\cdot a\cdot h.
Ostrosłup prawidłowy trójkątny
- Podstawa jest trójkątem równobocznym.
- Wysokość ostrosłupa (H) pada na środek podstawy.
- Wszystkie krawędzie boczne są równej długości.
- Objętość: V=\frac{1}{3}\cdot H\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.
- Pole całkowite: P_c=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+\frac{3}{2}\cdot a\cdot h.
Czworościan foremny:
- Szczególny ostrosłup prawidłowy.
- Każda ściana boczna jest trójkątem równobocznym.
Podstawa jest wielokątem foremnym.
- Wszystkie krawędzie są jednakowej długości.
- Objętość:V=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}.
- Pole całkowite: P_c=a^2\sqrt{3}.
Przykład 1. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi bocznej długości k = 5 oraz krawędzi podstawy a = 6. Wyznacz cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.
1. Zaznaczamy kąt, którego cosinus musimy obliczyć - oznaczymy go symbolem \alpha.
2. Obliczamy długość odcinka b:
b=\frac{1}{2}\cdot a=\frac{1}{2}\cdot6=3
3. Wyznaczamy wysokość ściany bocznej (h) z twierdzenia Pitagorasa:
5^2=3^2+h^2
25-9=16
h=4
3. Obliczamy cosinus kąta \alpha:
\cos{\alpha}=\frac{b}{h}=\frac{3}{4}
Przykład 2. Ściana boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \alpha = 60^\circ. Krawędź podstawy ma długość a = 6. Oblicz objętość ostrosłupa.
1. Zaznaczamy kąt \alpha=60^{\circ}.
2. Do obliczenia objętości potrzebujemy długość wysokości H i pole podstawy. To drugie możemy obliczyć wiedząc, że a = 6
P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}
P_p=9\sqrt{3}
3. H możemy obliczyć wykorzystując własności trójkąta 30,60,90:
4. Obliczamy objętość:
V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H
V=\frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}\cdot 3=9\sqrt{3}
Czym jest walec
Walec - bryła geometryczna mająca dwie identyczne, równoległe podstawy w kształcie koła oraz powierzchnię boczną w kształcie prostokąta zawiniętego wokół osi walca.
Własności:
- Ma dwie równoległe podstawy w kształcie koła.
- Oś walca to odcinek łączący środki obu podstaw.
- Objętość: V=\pi\cdot r^2\cdot h.
- Pole podstawy: P_p=\pi\cdot r^2.
- Pole powierzchni całkowitej: P_c=2\pi r^2+2\pi\cdot r\cdot h.
Przykład 1. Podstawa walca ma promień równy 3. Wysokość jest równa 12. Oblicz objętość walca.
1. Podstawiamy dane do wzoru:
V=\pi\cdot r^2\cdot h
V=\pi\cdot 9\cdot 12
V=108\pi
Odpowiedź: 108\pi
Czym jest stożek
Stożek - bryła mająca podstawę w kształcie koła i wierzchołek, do którego zbiegają się wszystkie punkty powierzchni bocznej.
Własności:
- Ma podstawę w kształcie koła i wierzchołek, do którego zbiegają się wszystkie punkty powierzchni bocznej.
- Powierzchnia boczna jest wycinkiem koła.
- Oś stożka to odcinek łączący środek podstawy z wierzchołkiem.
- Objętość:V=\frac{1}{3}\pi\cdot r^2\cdot h.
- Pole podstawy: P_p=\pi\cdot r^2.
- Pole całkowite: P_c=\pi r^2+2\pi\cdot r\cdot l.
Przykład 2. Trójkąt prostokątny równoramienny o przyprostokątnych 2 obracamy tworząc stożek. Oblicz pole całkowite tego stożka.
1. wyznaczamy długość l z trójkąta 45, 45, 90:
2. Obliczamy pole całkowite ze wzoru:
P_c=\pi\cdot r^2+\pi\cdot r\cdot l
P_c=\pi\cdot 4+\pi\cdot 2\cdot 2\sqrt{2}
P_c=4\pi+4\sqrt{2}\pi
Studencki Tip od Emi
Pamiętaj średnica to dwa promienie.
Czym jest kula
Kula - bryła powstała przez obrót koła wokół jego średnicy, w której wszystkie punkty na powierzchni są równo oddalone od środka.
Własności:
-
Wszystkie punkty na powierzchni są równo oddalone od środka.
- Środek kuli to punkt, z którego wszystkie promienie są równe.
- Nie ma krawędzi ani wierzchołków.
- Objętość: V = \frac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3.
- Pole powierzchni: P=4\cdot\pi\cdot r^2.
Przykład 3. Dana jest poniższa figura powstała z połączenia dwóch półkól i walca. Oblicz objętość tej bryły, wiedząc że promień jest równy 3, a stosunek wysokości walca do promienia jest równy 3:1.
