Równania i nierówności

Czym jest niewiadoma?

Niewiadomą nazywamy coś, czego szukamy w naszym równaniu lub nierówności. Jest jak zamknięte pudełko, którego wartość chcemy poznać
Skoro nie znamy wartości, trzeba użyć jakiegoś symbolu, aby ją oznaczyć. Z reguły używa się małą literę $x$ , ale mogą to być wszystkie litery z alfabetu np. $a$ , $b$ , $c$ , $\dots$ , $y$ , $z$

Czym są równania liniowe?

Równanie liniowe to równanie, w którym niewiadome występują tylko w pierwszej potędze ( $x$ , $y$ , $3 x$ , $\frac{x}{2}$ )
Dążymy do wyznaczenia wartości niewiadomej x, tak aby po podstawieniu lewa strona równała się prawej (L=P)

Przykład 1. Jak wygląda równanie liniowe?

lewa strona równania

$2$ $x$ $+ 3 = 11$

prawa strona równania

niewiadoma, którą chcemy wyznaczyć

Znak równości

To jak rozwiązać takie równanie i poznać wartość $x$ ?

Przenieś liczby na jedną stronę

Wszystko, co nie ma przy sobie niewiadomej $x$ wyrzuć na przeciwną stronę

dodawanie, np. $x + 3$

odejmij 3 z obu stron

odejmowanie, np. $x - 3$

dodaj 3 do obu stron

pozbądź się tego, co stoi przy x

Chcemy samego $x$ , więc musimy się pozbyć przyklejonej do niego liczby

mnożenie, np. $2 x$

podziel obie strony przez 2

dzielenie, np. $\frac{x}{2}$

pomnóż obie strony przez 2

Przykład 2. Rozwiązywanie równania liniowego

Wykorzystajmy poznane wskazówki i rozwiążmy poniższe równanie:

Nasza taktyka: niewiadome na lewą stronę, a liczby znane na prawą. Chcemy samego $x$ z lewej strony. Przeszkadza nam $3$

$2 x + 3 = 11$

Aby pozbyć się $3$ , musimy obustronnie odjąć $3$

$2 x = 11 - 3$

Po lewej mamy $2 x$ , a chcemy wyliczyć samo $x$

$2 x = 8$

Przeszkadza nam $2$ , zatem dzielimy obustronnie przez $2$

$x = 8 \div 2$

Poznaliśmy naszą niewiadomą! To $4$ !:)

$x = 4$

Możemy jeszcze sprawdzić, czy po podstawieniu 4 pod x, lewa strona będzie równa prawej:

Przykład 3. Sprawdzenie

$2 \cdot$ $4$ $+ 3 = 11$

$8 + 3 = 11$

$11 = 11$

$L = P$

Lewa strona $=$ prawa strona, oznacza to, że zadanie jest dobrze rozwiązane!

Definicja dziedziny

Dziedzina to po prostu zbiór wszystkich wartości, jakie może przyjąć nasza niewiadoma, aby działanie matematyczne dalej miało sens
Np. nie możemy dzielić przez $0$ w matematyce, więc:

$\frac{1}{x + 2} = 5$

$x + 2$ nie może być równe zero,
więc wykluczamy $x = - 2$ z dziedziny

Studencki Tip od Nati

W równaniach liniowych warto robić Sprawdzenie - dobry sposób na wyłapanie błędów. Gdy Lewa strona nie równa się prawej coś jest nie tak!

czym są nierówności liniowe?

Nierówność liniowa to nierówność z niewiadomą w pierwszej potędze, gdzie dążymy do wyznaczenia zakresu (przedziału) wartości tej niewiadomej.

Przykład 1. Jak wygląda nierówność liniowa?

lewa strona nierówności

$2$ $x$ $+ 3 > 11$

prawa strona nierówności

niewiadoma, którą chcemy wyznaczyć

Znak większości,
może być też znak

<

lub

\leq

\geq

To jak rozwiązać taką nierówność i poznać wartość $x$ ?
Na szczęście bardzo podobnie do równań!

Przykład 2. Rozwiązywanie nierówności liniowej

Nasza taktyka: niewiadome na lewą stronę, a liczby znane na prawą. Chcemy samego $x$ z lewej strony. Przeszkadza nam $3$

$2 x + 3 > 11$

Aby pozbyć się $3$ , musimy obustronnie odjąć $3$

$2 x > 11 - 3$

Po lewej mamy $2 x$ , a chcemy wyliczyć samo $x$

$2 x > 8$

Przeszkadza nam $2$ , zatem dzielimy obustronnie przez $2$ . Liczba jest dodatnia, więc nie zmieniamy znaku.

$x > 8 \div 2$

Poznaliśmy naszą niewiadomą! Czytamy to jako “ $x$ jest większe od $4$ ”

$x > 4$

Odpowiedź możemy zapisać też na drugi sposób. Czytamy ten zapis “ $x$ należy do przedziału od $4$ otwarte do plus nieskończoności”

$x \in (4, \infty)$

Możemy jeszcze sprawdzić, czy po podstawieniu czegoś większego od 4 pod $x$ , lewa strona będzie większa od prawej

Przykład 3. Sprawdzenie

$2 \cdot$ $5$ $+ 3 > 11$

$10 + 3 > 11$

$13 > 11$

$L > P$

Lewa strona $>$ prawa strona, oznacza to, że zadanie jest dobrze rozwiązane!

Przenieś liczby na jedną stronę

Wszystko, co nie ma przy sobie niewiadomej $x$ wyrzuć na przeciwną stronę

dodawanie, np. $x + 3$

odejmij 3 z obu stron

odejmowanie, np. $x - 3$

dodaj 3 do obu stron

pozbądź się tego, co stoi przy x

Chcemy samego $x$ , więc musimy się pozbyć przyklejonej do niego liczby

mnożenie, np. $2 x$

podziel obie strony przez 2

dzielenie, np. $\frac{x}{2}$

pomnóż obie strony przez 2

uwaga!

Jeżeli mnożymy lub dzielimy przez liczbę ujemną (np. $- 2$ , $- 1$ ) to musimy zmienić (odwrócić) znak nierówności!

$- 2 x < 8$ / : $(- 2)$

$- 2 x > 8$ / : $(- 2)$

$x > - 4$

$x < - 4$

czym jest układ równań?

Układ równań to zbiór dwóch lub więcej równań, które mają wspólne niewiadome (czyli $x$ , $y$ , $z$ , itd.).
Chcemy w nim poznać wartości więcej niż jednej litery.

czym jest układ równań?

Istnieją na to różne metody. Warto popatrzeć chwilę na przykład i zastanowić się, która w tym przypadku będzie najlepsza do użycia

metoda podstawiania

Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu specjalnego wzoru na dowolną niewiadomą z jednego równania (np. $y = 2 x + 5$ ) i podstawieniu tej wartości do drugiego równania (wszędzie, gdzie jest $y$ wpisujemy $2 x + 5$ ).

metoda przeciwnych współczynników

Metoda przeciwnych współczynników polega na dodaniu lub odjęciu równań tak, aby jedna zmienna nam się zredukowała.
Żeby to zrobić, musimy stworzyć niewiadome o przeciwnych współczynnikach (to co stoi przy $x$ i $y$ ). Np. $2 x$ i $- 2 x$ , $y$ i $- y$ .
Następnie podstawiamy uzyskaną wartość do jednego z równań, aby znaleźć drugą niewiadomą.

metoda graficzna

Metoda graficzna polega na narysowaniu obu równań w układzie współrzędnych (są to proste, jak funkcja liniowa) i znalezieniu ich punktu przecięcia – jest on rozwiązaniem układu równań.

Studencki Tip od Nati

Metoda graficzna jest fajna, ale raczej rzadko będziemy z niej korzystać. Warto wiedzieć, że istnieje, ale są szybsze sposoby na rozwiązanie układu równań - np. I i II

Przykład 1. Jak wygląda układ równań?

Mamy dwie zmienne $x$ i $y$

klamra łącząca
ze sobą równania

${\begin{cases} 2 x + y = 8 \\ 3 x - 2 y = 5 \end{cases}$

1. równanie

2. równanie

Przykład 2. I sposób - Metoda podstawiania

Wyznaczamy z dowolnego równania dowolną niewiadomą. W tym przykładzie wyznaczamy $y$ z pierwszego równania

${\begin{cases} 2 x + y = 8 \\ 3 x - 2 y = 5 \end{cases}$

Podstawiamy nasze $y$ z 1. równania w miejsce $y$ w 2. równaniu. To jest właśnie podstawienie!

${\begin{cases} y = 8 - 2 x \\ 3 x - 2 \cdot (8 - 2 x) = 5 \end{cases}$

Wymnażamy nawiasy i porządkujemy równanie

${\begin{cases} y = 8 - 2 x \\ 3 x - 16 + 4 x = 5 \end{cases}$

Upraszczamy drugie równanie - niewiadome na lewo i liczby na prawo - pamiętając o zmianie znaku

${\begin{cases} y = 8 - 2 x \\ 7 x = 5 + 16 \end{cases}$

Przy $x$ przeszkadza nam $7$ - chcemy je usunąć. Dzielimy obustronnie przez $7$

${\begin{cases} y = 8 - 2 x \\ 7 x = 21 \end{cases}$

$x = 3$ , idziemy do równania 1 i pod x podstawiamy otrzymaną $3$

${\begin{cases} x = 21 \div 7 = 3 \\ y = 8 - 2 \cdot 3 = 2 \end{cases}$

Nasze rozwiązania układu równań zapisujemy w klamrze. Warto zrobić tutaj też sprawdzenie jak w rozdziale “Równania liniowe”.

${\begin{cases} x = 3 \\ y = 2 \end{cases}$

Studencki Tip od Nati

Końcowe rozwiązania układu zapisujemy w klamrze i w kolejności alfabetycznej.

Studencki Tip od Oli

Najłatwiej znaleźć przeciwne współczynniki tam, gdzie jest sam x lub y. Wtedy wystarczy raz pomnożyć równanie przez szukany współczynnik (np. 2) i gotowe! Otrzymujemy 2x lub 2y.

Przykład 3. II sposób - Metoda przeciwnych współczynników

Teraz skupiamy się, aby przy wybranej niewiadomej stała ta sama liczba w obu równaniach, ale z przeciwnymi znakami

${\begin{cases} 2 x + y = 8 \\ 3 x - 2 y = 5 \end{cases}$

U nas najłatwiej będzie otrzymać to przy $y$ . Mnożymy obustronnie pierwsze równanie przez $2$ , dzięki czemu otrzymamy $+ 2 y$ . W drugim równaniu mamy $- 2 y$

${\begin{cases} 2 x + y = 8 / \cdot 2 \\ 3 x - 2 y = 5 \end{cases}$

Przy y stoją te same liczby (2), ale z przeciwnymi znakami - to co chcemy

$! 2 y - 2 y = 0!$

Dodajemy oba równania do siebie - tak jak dodajemy pisemnie,. Nic się tu nie zmienia

$\frac{+ {\begin{matrix} 4 x + 2 y = 16 \\ 3 x - 2 y = 5 \end{matrix}}{4 x + 3 x = 16 + 5}$

$x = 3$ , idziemy do pierwszego równania i pod $x$ podstawiamy otrzymane $3$

$7 x = 21$ $x = 3$

Obliczamy wartość $y$

$2 \cdot 3 + y = 8$ $6 + y = 8$ $y = 2$

Nasze rozwiązania układu równań zapisujemy w klamrze. Warto zrobić tutaj też sprawdzenie jak w rozdziale “Równania liniowe”.

${\begin{cases} x = 3 \\ y = 2 \end{cases}$

Przykład 4. III sposób - Metoda graficzna

Rysujemy funkcje liniowe z równania 1 i 2. Jak rysować funkcje i czym one są dowiesz się w następnym dziale!

${\begin{cases} 2 x + y = 8 \\ 3 x - 2 y = 5 \end{cases}$

Wyznaczamy $y$ w obu równaniach - to właśnie wzory naszych funkcji, które będziemy rysować

TU wspieramy Cię w marzeniach!

Czym jest niewiadoma?

Czym są równania liniowe?

Przykład 1. Jak wygląda równanie liniowe?

2x+3=11

Przenieś liczby na jedną stronę

Wszystko, co nie ma przy sobie niewiadomej x wyrzuć na przeciwną stronę

pozbądź się tego, co stoi przy x

Chcemy samego x, więc musimy się pozbyć przyklejonej do niego liczby

Przykład 2. Rozwiązywanie równania liniowego

Wykorzystajmy poznane wskazówki i rozwiążmy poniższe równanie:

Nasza taktyka: niewiadome na lewą stronę, a liczby znane na prawą. Chcemy samego x z lewej strony. Przeszkadza nam 3

2x+3=11

Aby pozbyć się 3, musimy obustronnie odjąć 3

2x=11−3

Po lewej mamy 2x, a chcemy wyliczyć samo x

2x=8

Przeszkadza nam 2, zatem dzielimy obustronnie przez 2

x=8÷2

Poznaliśmy naszą niewiadomą! To 4!:)

x=4

Przykład 3. Sprawdzenie

2⋅ 4 +3=11

8+3=11

11=11

L=P

Lewa strona = prawa strona, oznacza to, że zadanie jest dobrze rozwiązane!

Definicja dziedziny

1x+2=5

x+2 nie może być równe zero, więc wykluczamy x=−2 z dziedziny

Studencki Tip od Nati

W równaniach liniowych warto robić Sprawdzenie - dobry sposób na wyłapanie błędów. Gdy Lewa strona nie równa się prawej coś jest nie tak!

czym są nierówności liniowe?

Nierówność liniowa to nierówność z niewiadomą w pierwszej potędze, gdzie dążymy do wyznaczenia zakresu (przedziału) wartości tej niewiadomej.

Przykład 1. Jak wygląda nierówność liniowa?

2x+3>11

Przykład 2. Rozwiązywanie nierówności liniowej

Nasza taktyka: niewiadome na lewą stronę, a liczby znane na prawą. Chcemy samego x z lewej strony. Przeszkadza nam 3

2x+3>11

Aby pozbyć się 3, musimy obustronnie odjąć 3

2x>11−3

Po lewej mamy 2x, a chcemy wyliczyć samo x

2x>8

Przeszkadza nam 2, zatem dzielimy obustronnie przez 2. Liczba jest dodatnia, więc nie zmieniamy znaku.

x>8÷2

Poznaliśmy naszą niewiadomą! Czytamy to jako “x jest większe od 4”

x>4

Odpowiedź możemy zapisać też na drugi sposób. Czytamy ten zapis “x należy do przedziału od 4 otwarte do plus nieskończoności”

x∈(4,∞)

Przykład 3. Sprawdzenie

2⋅ 5 +3>11

10+3>11

13>11

L>P

Lewa strona > prawa strona, oznacza to, że zadanie jest dobrze rozwiązane!

Przenieś liczby na jedną stronę

Wszystko, co nie ma przy sobie niewiadomej x wyrzuć na przeciwną stronę

pozbądź się tego, co stoi przy x

Chcemy samego x, więc musimy się pozbyć przyklejonej do niego liczby

uwaga!

Jeżeli mnożymy lub dzielimy przez liczbę ujemną (np. −2, −1) to musimy zmienić (odwrócić) znak nierówności!

−2x<8 / :(−2)

−2x>8 / :(−2)

x>−4

x<−4

czym jest układ równań?

czym jest układ równań?

metoda podstawiania

metoda przeciwnych współczynników

metoda graficzna

Studencki Tip od Nati

Metoda graficzna jest fajna, ale raczej rzadko będziemy z niej korzystać. Warto wiedzieć, że istnieje, ale są szybsze sposoby na rozwiązanie układu równań - np. I i II

Przykład 1. Jak wygląda układ równań?

{2x+y=83x−2y=5

Przykład 2. I sposób - Metoda podstawiania

Wyznaczamy z dowolnego równania dowolną niewiadomą. W tym przykładzie wyznaczamy y z pierwszego równania

{2x+y=83x−2y=5

Podstawiamy nasze y z 1. równania w miejsce y w 2. równaniu. To jest właśnie podstawienie!

{y=8−2x3x−2⋅(8−2x)=5

Wymnażamy nawiasy i porządkujemy równanie

$2$ $x$ $+ 3 = 11$

Wszystko, co nie ma przy sobie niewiadomej $x$ wyrzuć na przeciwną stronę

Chcemy samego $x$ , więc musimy się pozbyć przyklejonej do niego liczby

Nasza taktyka: niewiadome na lewą stronę, a liczby znane na prawą. Chcemy samego $x$ z lewej strony. Przeszkadza nam $3$

$2 x + 3 = 11$

Aby pozbyć się $3$ , musimy obustronnie odjąć $3$

$2 x = 11 - 3$

Po lewej mamy $2 x$ , a chcemy wyliczyć samo $x$

$2 x = 8$

Przeszkadza nam $2$ , zatem dzielimy obustronnie przez $2$

$x = 8 \div 2$

Poznaliśmy naszą niewiadomą! To $4$ !:)

$x = 4$

$2 \cdot$ $4$ $+ 3 = 11$

$8 + 3 = 11$

$11 = 11$

$L = P$

Lewa strona $=$ prawa strona, oznacza to, że zadanie jest dobrze rozwiązane!

$\frac{1}{x + 2} = 5$

$x + 2$ nie może być równe zero,
więc wykluczamy $x = - 2$ z dziedziny

$2$ $x$ $+ 3 > 11$

Nasza taktyka: niewiadome na lewą stronę, a liczby znane na prawą. Chcemy samego $x$ z lewej strony. Przeszkadza nam $3$

$2 x + 3 > 11$

Aby pozbyć się $3$ , musimy obustronnie odjąć $3$

$2 x > 11 - 3$

Po lewej mamy $2 x$ , a chcemy wyliczyć samo $x$

$2 x > 8$

Przeszkadza nam $2$ , zatem dzielimy obustronnie przez $2$ . Liczba jest dodatnia, więc nie zmieniamy znaku.

$x > 8 \div 2$

Poznaliśmy naszą niewiadomą! Czytamy to jako “ $x$ jest większe od $4$ ”

$x > 4$

Odpowiedź możemy zapisać też na drugi sposób. Czytamy ten zapis “ $x$ należy do przedziału od $4$ otwarte do plus nieskończoności”

$x \in (4, \infty)$

$2 \cdot$ $5$ $+ 3 > 11$

$10 + 3 > 11$

$13 > 11$

$L > P$

Lewa strona $>$ prawa strona, oznacza to, że zadanie jest dobrze rozwiązane!

Wszystko, co nie ma przy sobie niewiadomej $x$ wyrzuć na przeciwną stronę

Chcemy samego $x$ , więc musimy się pozbyć przyklejonej do niego liczby

Jeżeli mnożymy lub dzielimy przez liczbę ujemną (np. $- 2$ , $- 1$ ) to musimy zmienić (odwrócić) znak nierówności!

$- 2 x < 8$ / : $(- 2)$

$- 2 x > 8$ / : $(- 2)$

$x > - 4$

$x < - 4$

${\begin{cases} 2 x + y = 8 \\ 3 x - 2 y = 5 \end{cases}$

Wyznaczamy z dowolnego równania dowolną niewiadomą. W tym przykładzie wyznaczamy $y$ z pierwszego równania

${\begin{cases} 2 x + y = 8 \\ 3 x - 2 y = 5 \end{cases}$

Podstawiamy nasze $y$ z 1. równania w miejsce $y$ w 2. równaniu. To jest właśnie podstawienie!

${\begin{cases} y = 8 - 2 x \\ 3 x - 2 \cdot (8 - 2 x) = 5 \end{cases}$

${\begin{cases} y = 8 - 2 x \\ 3 x - 16 + 4 x = 5 \end{cases}$

${\begin{cases} y = 8 - 2 x \\ 7 x = 5 + 16 \end{cases}$

Przy $x$ przeszkadza nam $7$ - chcemy je usunąć. Dzielimy obustronnie przez $7$

${\begin{cases} y = 8 - 2 x \\ 7 x = 21 \end{cases}$

$x = 3$ , idziemy do równania 1 i pod x podstawiamy otrzymaną $3$

${\begin{cases} x = 21 \div 7 = 3 \\ y = 8 - 2 \cdot 3 = 2 \end{cases}$

${\begin{cases} x = 3 \\ y = 2 \end{cases}$

${\begin{cases} 2 x + y = 8 \\ 3 x - 2 y = 5 \end{cases}$

U nas najłatwiej będzie otrzymać to przy $y$ . Mnożymy obustronnie pierwsze równanie przez $2$ , dzięki czemu otrzymamy $+ 2 y$ . W drugim równaniu mamy $- 2 y$

${\begin{cases} 2 x + y = 8 / \cdot 2 \\ 3 x - 2 y = 5 \end{cases}$

$! 2 y - 2 y = 0!$

$\frac{+ {\begin{matrix} 4 x + 2 y = 16 \\ 3 x - 2 y = 5 \end{matrix}}{4 x + 3 x = 16 + 5}$

$x = 3$ , idziemy do pierwszego równania i pod $x$ podstawiamy otrzymane $3$

$7 x = 21$ $x = 3$

Obliczamy wartość $y$

$2 \cdot 3 + y = 8$ $6 + y = 8$ $y = 2$

${\begin{cases} x = 3 \\ y = 2 \end{cases}$

${\begin{cases} 2 x + y = 8 \\ 3 x - 2 y = 5 \end{cases}$

${\begin{cases} y = - 2 x + 8 \\ y = \frac{3}{2} x - \frac{5}{2} \end{cases}$