definicja funkcji
Funkcją $f$ ze zbioru $X$ w zbiór $Y$ ($f: X \rightarrow Y$) nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi ze zbioru $X$ dokładnie jednego elementu zbioru $Y$.
definicja argumentu funkcji
Argumenty funkcji są to elementy dziedziny ($x \in X$).
definicja wartości funkcji
Wartości funkcji są to elementy zbioru $Y$ (zbiór wartości funkcji), które zostały przyporządkowane argumentom ($y \in Y$).
definicja miejsca zerowego
Miejscem zerowym funkcji $f: X \rightarrow Y$ nazywamy taki argument, dla którego $f(x) = 0$ (czyli gdy $y=0$). Jest to argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość $0$. Geometrycznie jest to pierwsza współrzędna punktu przecięcia wykresu funkcji z osią $X$.
Przykład 1.
Studencki Tip od Nati
Funkcje z reguły oznaczamy małymi literami np. $f$, $g$, $h$.
definicja funkcji liniowej
Funkcję liniową określamy wzorem:
$y=ax+b$
$a$ to współczynnik kierunkowy prostej.
$b$ to wyraz wolny (wykres funkcji przecina oś $OY$ w punkcie $(0,b)$).
- $a>0$ – funkcja jest rosnąca.
- $a<0$ – funkcja jest malejąca.
- $a=0$ – funkcja jest stała.
Wzór na miejsce zerowe
$x_0=-\frac{b}{a}$
Przykład 1. Jak wygląda funkcja liniowa?
$x_0=-\frac{b}{a}=-\frac{4}{2}=-2$
definicja funkcji kwadratowej
Funkcję kwadratową, inaczej nazywaną trójmianem kwadratowym, określamy wzorem:
$y=ax^2+bx+c$
$a$, $b$, $c$ to współczynniki liczbowe.
$a$ musi być różne od zera ($a \neq 0$).
- $a>0$ – ramiona paraboli skierowane do góry.
- $a<0$ – ramiona paraboli skierowane do dołu.
Przykład 1. Jak wygląda funkcja kwadratowa?
matura
postacie funkcji kwadratowej
1
postać ogólna
$y=ax^2+bx+c$
c to rzędna punktu przecięcia wykresu z osią $OY$ (punkt ten ma współrzędne $(0,c)$).
2
postać kanoniczna
$y=a(x-p)^2+q$
p i q to współrzędne wierzchołka $W=(p,q)$.
Z postaci kanonicznej przechodzimy do postaci ogólnej przez wymnożenie nawiasów:
3
postać iloczynowa
$y=a(x-x_1)(x-x_2)$
$x_1$ oraz $x_2$ to miejsca zerowe funkcji.
Jeśli funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych, to postać iloczynowa nie istnieje.
Z postaci iloczynowej przechodzimy do postaci ogólnej przez wymnożenie nawiasów:
Wzory i własności
nazwa
wzór
Przykład
wyróżnik trójmianu kwadratowego
$$\Delta=b^2-4ac$$
$ \Delta=5^2-4\cdot 4\cdot 1=9 $
miejsca zerowe
$$ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$ $$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} $$
$$ x_1=\frac{-5-\sqrt{9}}{2\cdot 4}=\frac{-8}{8}=-1$$ $$x_2=\frac{-5+\sqrt{9}}{2\cdot 4}=\frac{-2}{8}=-\frac{1}{4}$$
wierzchołek
$$W=(p,q)=(\frac{-b}{2a},\frac{-\Delta}{4a})$$
$W=(\frac{-5}{2\cdot 4},\frac{-9}{4\cdot 4})=(\frac{-5}{8},\frac{-9}{16})$
postać ogólna funkcji
$$y=ax^2+bx+c$$
$$y=4x^2+5x+1$$
postać kanoniczna funkcji
$$y=a(x-p)^2+q$$
$$y=4(x-\frac{5}{8})^2-\frac{9}{16}$$
postać iloczynowa funkcji
$$y=a(x-x_1)(x-x_2)$$
$$y=4(x+1)(x+\frac{1}{4})$$
hiperbola
funkcja logarytmiczna
funkcja wykładnicza
