Prosta, półprosta, odcinek
Prosta
linia bez początku i końca
Półprosta
linia, która ma początek, ale nie ma końca
Odcinek
ma początek i koniec
Proste równoległe
dwie proste, które nigdy się nie przecinają
Proste prostopadłe
dwie proste, które przecinają się pod kątem prostym (90°)
kąty
Kąt ostry
<90°
Kąt prosty
=90°
Kąt rozwarty
>90° i <180°
Kąt ostry
<90°
Kąt prosty
=90°
Kąt wierzchołkowy
- dwa kąty ze wspólnym wierzchołkiem
- kąty naprzeciw siebie są równe
Kąt przylegający
- ich suma to 180°
-
dwa kąty mające wspólne ramię
Kąty odpowiadające
- proste są równoległe i kolejna prosta je przecina
-
leżą po tej samej stronie przecinającej prostej
Dwusieczna
- linia dzieląca dowolny kąt w połowie (na dwie równe części)
Symetralna
- prosta dzieli odcinek na pół (na dwie równe części)
-
ta prosta jest prostopadła do odcinka
Środkowa
- odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku.
-
ta prosta jes prostopadła do tego przeciwległego boku
kąty w trójkącie
Suma kątów wewnętrznych w trójkącie zawsze jest równa 180 stopni. Trójkąt może mieć tylko jeden kąt rozwarty i tylko jeden kąt prosty.
trójkąty i ich rodzaje
Trójkąty możemy podzielić na przykład ze względu na miary kątów:
Trójkąt ostrokątny
Trójkąt rozwartokątny
Trójkąt prostokątny
Oprócz tego możemy wyróżnić dwa szczególne rodzaje trójkątów:
Trójkąt równoboczny:
- wszystkie boki tego trójkąta są równej długości.
- wszystkie jego kąty mają po 60°
Trójkąt równoramienny:
- dwa boki trójkąta są tej samej długości
- dwa kąty tego trójkąta mają taką samą wartość
własności trójkąta równobocznego
Jako że trójkąt równoboczny ma wszystkie boki tej samej długości (i każdy kąt równy jest 60 stopni), posiada także pewne charakterystyczne właściwości.
- linia dzieląca dowolny kąt w połowie (na dwie równe części)
$ h = \frac{a \sqrt{3}}{2} $
- linia dzieląca dowolny kąt w połowie (na dwie równe części)
$ h = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} $
Przykład 1.
Dany jest trójkąt, którego wszystkie boki mają po 4 cm. Oblicz jego pole
Sposób 1
1. Obliczamy wysokość trójkąta
\[a=4 h=\frac{a\sqrt{3}{2}\]
\[h=2\sqrt{3}\]
2. Wykorzystujemy wzór na pole trójkąta
\[P=\frac{1}{2} \cdot a \cdot h\]
\[P=\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} => P=4\sqrt{3}\]
Sposób 2
Obliczamy pole trójkąt z nowo poznanego wzoru na pole trójkąta równobocznego, gdzie długość boku bez potrzeby wyliczania wysokości starcza
$$P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} $$
1. Wiemy, że nasz bok ma 4 cm, czyli $$a = 4$$
2. Podstawiamy więc pod wzór:
$$P = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} => P=4\sqrt{3}$$
własności trójkąta prostokątnego
Z trójkątem prostokątnym zapoznaliśmy się blisko w dziale Trygonometria. Teraz jednak zwróćmy uwagę na najważniejszej właściwości tego trójkąta.
- Suma kątów ostrych jest równa 90°
- Do obliczenia brakującego boku możemy wykorzystać Twierdzenie Pitagorsa
Wzorek - Twierdzenie Pitagorasa $$a^2 + b^2 = c^2$$
Przykład 2.
Oblicz miarę trzeciego boku trójkąta wiedząc, że przyprostokątne są równe i mają 5 cm.
Jeśli:
- Trójkąt jest prostokątny
- Masz obliczyć długość trzeciego brakującego boku
Wiedz, że kroi się Pitagoras!
$$5^2 + 5^2 = c^2$$
$$50 = c^2 $$
$$ c = 5\sqrt{2}$$
trójkąt równoboczny wpisany w okrąg oraz opisany na trójkącie
podobieństwo trójkątów
Trójkąty podobne to trójkąty, które mają takie same kąty, ale różnią się wielkością. Oznacza to, że ich odpowiednie boki są proporcjonalne, czyli stosunki długości odpowiadających sobie boków są równe.
Dwa trójkąty są podobne, jeśli spełniają jeden z poniższych warunków:
KK: (Kąt - Kąt) Dwa kąty jednego trójkąta są równe dwóm kątom drugiego trójkąta.
BBB: (Bok- Bok - Bok) Stosunki długości wszystkich trzech odpowiednich boków są równe.
BKB: (Bok- Kąt - Bok) Stosunki dwóch odpowiednich boków są równe, a kąty między tymi bokami są takie same.
trójkąty przystające
Trójkąty są przystające, jeśli mają identyczny kształt i rozmiar, czyli odpowiadające sobie boki są równe oraz odpowiadające sobie kąty są równe.
Aby sprawdzić, czy trójkąty są przystające, wystarczy spełnić jeden z następujących warunków:
BBB: (Bok- Bok - Bok) Wszystkie trzy boki jednego trójkąta są równe trzem bokom drugiego trójkąta.
BKB: (Bok- Kąt - Bok) Dwa boki i kąt między nimi w jednym trójkącie są równe odpowiednim elementom w drugim trójkącie.
KBK: (Kąt - Bok - Kąt) Dwa kąty i bok między nimi w jednym trójkącie są równe odpowiednim elementom w drugim trójkącie.
twierdzenie o dwusiecznej kąta
Twierdzenie o dwusiecznej kąta w trójkącie mówi, że:
Dwusieczna kąta w trójkącie dzieli przeciwległy bok na odcinki proporcjonalne do długości dwóch pozostałych boków.
Jeśli w trójkącie ABC, dwusieczna kąta C przecina bok AB w punkcie D, to:
$$\frac{|AD|}{|BD|} = \frac{|AC|}{|BC|}$$
- Odcinek AD jest proporcjonalny do boku AC
- Odcinek BD jest proporcjonalny do boku BC
Przykład 3.
W trójkącie ABC Bok AB=6, AC=9, Dwusieczna kąta C przecina bok AB w punkcie D. Długość BC=10. Chcemy znaleźć długości odcinków BD i DC
twierdzenie talesa
Twierdzenie Talesa mówi, że:
Jeśli ramiona kąta są przecięte przez dwie równoległe proste, to odcinki wyznaczone na jednym ramieniu są proporcjonalne do odpowiadających im odcinków na drugim ramieniu.
Jeśli w trójkącie ABC, dwusieczna kąta C przecina bok AB w punkcie D, to:
$$\frac{|AB|}{|PA|} = \frac{|CD|}{|PC|}$$
- Odcinek PA i PC są proporcjonalne
- Odcinek AB i CD są proporcjonalne
podstawowe czworokąty
Czworokąty można podzielić na różne typy, w zależności od długości boków, miar kątów czy symetrii. Najbardziej znane rodzaje czworokątów to kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez i deltoid. Każdy z tych typów ma unikalne właściwości. Suma kątów w czworokącie wynosi zawsze 360 stopni.
Kwadrat
-
wszystkie boki są takiej samej długości
-
każdy kąt ma 90 stopni
-
przekątne są równe
-
przekątne przecinają się pod kątem prostym (prostopadłe)
-
POLE= a * a
Prostokąt
-
przeciwległe boki są takiej samej długości
-
każdy kąt ma 90 stopni
-
przekątne są równe, ale nie są prostopadłe
-
POLE = a * b
Kwadrat
-
wszystkie boki są takiej samej długości
-
każdy kąt ma 90 stopni
-
przekątne są równe
-
przekątne przecinają się pod kątem prostym (prostopadłe)
-
POLE= a * a
Prostokąt
-
przeciwległe boki są takiej samej długości
-
każdy kąt ma 90 stopni
-
przekątne są równe, ale nie są prostopadłe
-
POLE = a * b
